Правило 3 х сигм в полигонных измерениях. Нормальное распределение случайной величины и правило трех сигм

Случайной величины. Стандартное отклонение используют при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического , при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

где - стандарт, стандартное отклонение, несмещенная оценка среднеквадратического отклонения случайной величины X относительно её математического ожидания; - дисперсия; - i-й элемент выборки; - среднее арифметическое выборки; - объём выборки.

Следует отметить отличие стандарта (в знаменателе n − 1 ) от корня из дисперсии(среднеквадратического отклонения)(в знаменателе n ), при малом объёме выборки оценка дисперсии через последнюю величину является несколько смещенной, при бесконечно большом объёме выборки разница между указанными величинами исчезает. Выборка - лишь часть генеральной совокупности. Генеральная совокупность - абсолютно все возможные результаты. Получить результат, не входящий в генеральную совокупность абсолютно невозможно в принципе. Для случая с бросанием монетки генеральной совокупностью является: решка, ребро, орел. а вот пара орел-решка уже лишь выборка. Для генеральной совокупности математическое ожидание совпадает с истинным значением оцениваемого параметра. А вот для выборки не факт. Математическое ожидание выборки имеет смещение относительно истинного значения параметра. В силу этого, среднеквадратичная ошибка больше чем дисперсия, так как дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения от среднего значения, а среднеквадратичное отклонение - математическое ожидание отклонения от истинного значения. Разница в том, от чего ищем отклонение, когда дисперсия, то от среднего и не важно истинное это среднее или ошибочно, а когда среднеквадратичное отклонение, то ищем отклонение от истинного значения.

Правило 3-х сигм () - практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале . Более строго - не менее чем с 99,7 % достоверностью, значение нормально распределенной случайной величины лежит в указанном интервале. При условии что величина истинная, а не полученная в результате обработки выборки. Если же истинная величина неизвестна, то следует пользоваться не σ , а s . Таким образом, правило 3-х сигм преобразуется в правило трех s

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Правило трёх сигм" в других словарях:

Дисперсия случайной величины мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или.… … Википедия

- (англ. six sigma) концепция управления производством, разработанная в корпорации Motorola в 1980 е годы и популяризированная в середине 1990 х после того, как Джек Уэлч применил её как ключевую стратегию в General Electric. Суть… … Википедия

- (синонимы: среднеквадратичное отклонение, квадратичное отклонение; близкие термины: стандартное отклонение, стандартный разброс) в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины … Википедия

Стандартное отклонение (иногда среднеквадратичное отклонение) в теории вероятности и статистике наиболее распространенный показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. Измеряется в единицах… … Википедия

Плотность вероятности Зеленая лин … Википедия

НЕРВНАЯ СИСТЕМА - НЕРВНАЯ СИСТЕМА. Содержание: I. Эмбриогенез, гистогенез и филогенез Н.с. . 518 II. Анатомия Н. с................. 524 III. Физиология Н. с................ 525 IV. Патология Н.с................. 54? I. Эмбриогенез, гистогенез и филогенез Н. е.… … Большая медицинская энциклопедия

Самая многочисленная группа губок. Это преимущественно мягкие эластичные формы. Скелет их образован одноосными иглами. Всегда имеется в том или ином количестве спонгин, с помощью которого иглы склеиваются между собой в пучки или волокна … Биологическая энциклопедия

В медицине совокупность методов количественного изучения и анализа состояния и (или) поведения объектов и систем, относящихся к медицине и здравоохранению. В биологии, медицине и здравоохранении в круг явлений, изучаемых с помощью М.м., входят… … Медицинская энциклопедия

Содержание 1 Менеджмент на основе хозяйственной деятельности 2 Разработка деловой ситуации 3 … Википедия

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Расчёт себестоимости по видам деятельности (Activity Based Costing, ABC) это специальная модель описания затрат, которая идентифицирует работы фирмы … Википедия

Краткая теория

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , плотность которого имеет вид:

где – математическое ожидание , – среднее квадратическое отклонение .

Вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу :

где – функция Лапласа :

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа :

В частности, при справедливо равенство:

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин .

Кроме нормального распределения, основные законы распределения непрерывных случайных величин:

Пример решения задачи

На станке изготавливается деталь. Ее длина - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами , . Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 22 и 24,2 см. Какое отклонение длины детали от можно гарантировать с вероятностью 0,92; 0,98? В каких пределах, симметричных относительно , будут лежать практически все размеры деталей?

Решение:

Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, будет находиться в интервале :

Получаем:

Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, отклонится от среднего не более чем на величину :

По условию

Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.

Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.

1. Правило трёх сигм заключается в том, что практически все результаты, составляющие нормально распределенную выборку, находятся в пределах . Это правило можно использовать при решении следующих важных задач:

1) Оценки нормальности распределения выборочных данных. Если результаты находятся примерно в пределах
и в области среднего арифметического результаты встречаются чаще, а вправо и влево от него – реже, то можно предположить, что результаты распределены нормально.

2) Выявление ошибочно полученных результатов. Если отдельные результаты отклоняются от среднего арифметического значения на величины, значительно превосходящие 3, нужно проверить правильность полученных величин. Часто такие «выскакивающие» результаты могут появиться в результате неисправности прибора, ошибки в измерении и расчетах.

3) Оценка величины . Если размах варьирования R=X наиб - X наим, разделить на 6, то мы получим грубо приближенное значение .

2. Критерий W Шапиро и Уилка предназначен для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности, когда объём выборки мал (n ≤ 50). Процедура проверки следующая: выдвигается нулевая гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности. Рассчитывается наблюдаемое значение критерия Шапиро и Уилка W набл и сравнивается с критическим значением W крит, которое находится по таблице критических точек критерия Шапиро и Уилка в зависимости от объёма выборки и уровня значимости. Если W набл ≥ W крит, нулевая гипотеза о нормальном распределении результатов принимается; при W набл < W крит она отвергается.

1. В чём заключается правило трёх сигм?

2. Практическое применение правила трёх сигм.

3. Какой критерий применяется для проверки нормальности распределения генеральной совокупности при малом объёме выборки?

4. Опишите процедуру проверки нормальности распределения.

Литература:

1. Основы математической статистики. Уч. пособие для ин-тов физической культуры (под общ. ред. В.С. Иванова). – М.: Физкультура и спорт, 1990. – С. 62 – 63, 110 – 112.

2. Рукавицына С.Л., Волков Ю.О., Солтанович Л.Л. Спортивная метрология. Проверка эффективности методики тренировки с применением методов математической статистики. Практикум для студентов БГУФК. – Минск: БГУФК, 2006. – С. 66 – 67.

3. Гинзбург Г.И., Киселев В.Г. Расчетно-графические работы по спортивной метрологии. – Минск: БГОИФК, 1984. – С. 21 – 22, 26 – 29.

ЛЕКЦИЯ 7.

Тема: Взаимосвязь результатов измерения. Методы вычисления коэффициентов взаимосвязи.

Вопросы для рассмотрения:

1. Виды взаимосвязи.

2. Основные задачи корреляционного анализа.

3. Коэффициент корреляции и его свойства.

4. Методы вычисления коэффициентов взаимосвязи.

1. В спортивных исследованиях между изучаемыми показателями часто обнаруживается взаимосвязь. Вид ее бывает различным. Например, определение ускорения по известным данным скорости в биомеханике, закон Фехнера в психологии, закон Хилла в физиологии и другие характеризуют так называемую функциональную зависимость, или взаимосвязь, при которой каждому значению одного показателя соответствует строго определенное значение другого.

К другому виду взаимосвязи относят, например, зависимость веса от длины тела. Одному значению длины тела может соответствовать несколько значений веса и наоборот. В таких случаях, когда одному значению одного показателя соответствует несколько значений другого, взаимосвязь называют статистической.

Изучению статистической взаимосвязи между различными показателями в спортивных исследованиях уделяют большое внимание, поскольку это позволяет вскрыть некоторые закономерности и в дальнейшем описать их как словесно, так и математически с целью использования в практической работе тренера и педагога.

Среди статистических взаимосвязей наиболее важны корреляционные . Корреляция заключается в том, что средняя величина одного показателя изменяется в зависимости от значения другого.

2. Статистический метод, который используется для исследования взаимосвязей, называется корреляционным анализом. Основной задачей его является определение формы, тесноты и направленности взаимосвязи изучаемых показателей. Корреляционный анализ позволяет исследовать только статистическую взаимосвязь. Он широко используется в теории тестов для оценки их надежности и информативности. Различные шкалы измерений требуют разных вариантов корреляционного анализа.

Анализ взаимосвязи начинается с графического представления результатов измерений в прямоугольной системе координат. Строится график, на оси абсцисс которого откладываются результаты X, а на оси ординатрезультаты Y. Таким образом, каждая пара результатов в прямоугольной системе координат будет отображаться точкой. Полученная совокупность точек обводится замкнутой кривой.

Такая графическая зависимость называется диаграммой рассеивания или корреляционным полем . Визуальный анализ графика позволяет выявить форму зависимости (по крайней мере, сделать предположение). Если форма корреляционного поля близка к эллипсу, такую форму взаимосвязи называют линейной зависимостью или линейной формой взаимосвязи.

Однако, на практике можно встретить и иную форму взаимосвязи. Зависимость, экспериментально полученная при подачах в теннисе, является характерной для нелинейной формы взаимосвязи, или нелинейной зависимости.

Таким образом, визуальный анализ корреляционного поля позволяет выявить форму статистической зависимостилинейную или нелинейную. Это имеет существенное значение для следующего шага в анализевыбора и вычисления соответствующего коэффициента корреляции.

3. Если измерения происходят в шкале отношений или интервалов и наблюдается линейная форма взаимосвязи, для количественной оценки тесноты взаимосвязи используется коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона. Обозначается буквой r. Вычисляется по формуле:

где и – средние арифметические значения показателей x и y; σ x и σ y – средние квадратические отклонения; n – число измерений (испытуемых).

Его свойства:

1) Значения r могут изменяться от –1 до 1.

2) В случае r=-1 и r=1 взаимосвязь функциональная, соответственно, отрицательная и положительная.

3) При r=0 линейная взаимосвязь не установлена, но при этом может наблюдаться взаимосвязь другой формы.

4) При r<0 взаимосвязь отрицательная, при r>0 – положительная.

Для оценки тесноты взаимосвязи в корреляционном анализе используется значение (абсолютная величина) коэффициента корреляции. Абсолютное значение любого коэффициента корреляции лежит в пределах от 0 до 1. Объясняют (интерпретируют) значение этого коэффициента следующим образом:

коэффициент корреляции равен 1,00 (функциональная взаимосвязь, т.к. значению одного показателя соответствует только одно значение другого показателя);

коэффициент корреляции равен 0,990,7 (сильная статистическая взаимосвязь);

коэффициент корреляции равен 0,690,5 (средняя статистическая взаимосвязь);

коэффициент корреляции равен 0,490,2 (слабая статистическая взаимосвязь);

коэффициент корреляции равен 0,190,01 (очень слабая статистическая взаимосвязь);

коэффициент корреляции равен 0,00 (корреляции нет).

4. Прежде, чем начать механическую процедуру вычисления коэффициента корреляции, необходимо ответить на некоторые вопросы:

1) В какой шкале измеряется изучаемый показатель?

2) Как много измерений этого показателя выполнено?

От ответов на эти вопросы зависит, какой именно коэффициент взаимосвязи будет вычисляться.

В частности, в том случае, когда измерения проводятся в шкале интервалов или отношений, для оценки тесноты взаимосвязи вычисляют коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона; в ранговой шкале вычисляют ранговый коэффициент корреляции Спирмэна; а в шкале наименований, когда интересующие признак варьирует альтернативно, используют тетрахорический коэффициент сопряженности.

Ранговый коэффициент корреляции Спирмэна вычисляют по формуле:

где d = d x - d y – разность рангов данной пары показателей X и Y; n – объем выборки.

Применяется, когда показатели измерены в шкале наименований (т.е. им присвоены числа, но нельзя сказать, что один из них больше другого), а показатели варьируют альтернативно (пол мужской/женский, выполнение или невыполнение задания и т.д., иначе говоря, есть два состояния: 0 и 1).

Обозначается Т 4 и вычисляется по формуле:

где A – значение, которое соответствует числу испытуемых (попыток), совпадающих по обоим показателям X и Y, т.е. 1 и 1; B – значение, которое соответствует числу совпадений 0 – X и 1 – Y; C – значение, соответствующее числу совпадений 1 – X и 0 – Y; D – значение совпадений 0 и 0; n – объем выборки.

Контрольные вопросы для самопроверки:

1. Функциональная взаимосвязь. Определение и примеры.

2. Статистическая взаимосвязь. Определение и примеры. Корреляционная взаимосвязь.

3. Основные задачи корреляционного анализа.

4. Корреляционное поле. Порядок построения, анализ изображения.

6. Коэффициент корреляции Браве-Пирсона и его свойства.

7. Правила выбора коэффициента взаимосвязи.

Литература:

1. Основы математической статистики. Уч. пособие для ин-тов физической культуры (под общ. ред. В.С. Иванова). – М.: Физкультура и спорт, 1990. – С. 124 – 126, 142 – 150, 155 – 162.

3. Гинзбург Г.И., Киселев В.Г. Расчетно-графические работы по спортивной метрологии. – Минск: БГОИФК, 1984. – С. 51 – 60.

ЛЕКЦИЯ 8.

Тема: Статистические гипотезы и достоверность статистических характеристик. Проверка статистических гипотез.

Как известно, на рынках относительно часто нарушаются законы нормального распределения случайной величины: в каких-то инструментах чаще, в каких-то реже.

По моим наблюдениям, валютные пары менее подвержены нарушениям нормального распределения, чем акции или золото.

В золоте относительно часто происходят отклонения значения цены от нормального распределения на 3 или 4 средних квадратичных отклонения (сигмы).

Здесь, как говорят статистики, наибольшая дисперсия (разброс случайной величины).

Основной закон дисперсии:

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что случайная величина отстоит от своего математического ожидания более чем на k стандартных отклонений, составляет менее 1/k². Так, например, как минимум в 95 % случаев случайная величина, имеющая нормальное распределение, удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % - не более чем на три.

Приведу еще одну цитату из википедии

Правило трёх сигм (3σ) - практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале (x¯−3σ;x¯+3σ). Более строго - приблизительно с 0,9973 вероятностью значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале (при условии, что величина x¯ истинная, а не полученная в результате обработки выборки).

На рисунке показан график USDJPY с нанесенными на нем 2σ и 3σ.

Как мы видим, пара достигла вчера значения сигма равного 3. Для валютного рынка это чересчур много и мы видим, что сегодня пара начала корректироваться вниз.

Теперь начинается консолидация, которая может затянуться очень надолго.

На мой взгляд ближайшие месяцы пара USDJPY проведет в коридоре 110-115. У меня очень большая уверенность, что до конца года USDJPY обязательно побывает в районе 110. Для этого есть много причин, о которых я напишу в других статьях.

3 сигмы на недельном графике AUDJPY

В продолжение темы о дисперсии приведу еще один рисунок. На нем показан недельный график AUDJPY.

На нем очень хорошо видно, что вслед за касанием линии 3σ всегда происходит достаточно крупный разворот и пара проходила в противоположную сторону как минимум 7-8 фигур и это движение занимает много недель.

Если в ближайшие дни AUDJPY достигнет этого уровня, то с большой вероятностью можно ожидать повторения этого сценария.

Правило 3 сигм в статистика

т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027=1-0,9973. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм:

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

Определение: Непрерывная случайная величина X, функция плотности которой задается выражением

называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение.

Величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий обычно подчиняется показательному распределению. Другими словами, величина промежутка времени между появлениями двух последовательных редких событий подчиняется зачастую показательному распределению.

Как видно из формулы, показательное распределение определяется только одним параметром m .

Найдем функцию распределения показательного закона, используя свойства дифференциальной функции распределения:

Графики дифференциальной и интегральной функций показательного распределения имеют вид:

Правило трёх сигм

Стандартное отклонение (иногда среднеквадратичное отклонение) - в теории вероятности и статистике наиболее распространенный показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. Измеряется в единицах измерения самой случайной величины. Равен корню квадратному из дисперсии случайной величины. Стандартное отклонение используют при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

Следует отметить отличие стандарта (в знаменателе n − 1) от корня из дисперсии(среднеквадратического отклонения)(в знаменателе n ), при малом объёме выборки оценка дисперсии через последнюю величину является несколько смещенной, при бесконечно большом объёме выборки разница между указанными величинами исчезает. Выборка - лишь часть генеральной совокупности. Генеральная совокупность - абсолютно все возможные результаты. Получить результат, не входящий в генеральную совокупность абсолютно невозможно в принципе. Для случая с бросанием монетки генеральной совокупностью является: решка, ребро, орел. а вот пара орел-решка уже лишь выборка. Для генеральной совокупности математическое ожидание совпадает с истинным значением оцениваемого параметра. А вот для выборки не факт. Математическое ожидание выборки имеет смещение относительно истинного значения параметра. В силу этого, среднеквадратичная ошибка больше чем дисперсия, так как дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения от среднего значения, а среднеквадратичное отклонение - математическое ожидание отклонения от истинного значения. Разница в том, от чего ищем отклонение, когда дисперсия, то от среднего и не важно истинное это среднее или ошибочно, а когда среднеквадратичное отклонение, то ищем отклонение от истинного значения.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Правило трёх сигм» в других словарях:

Правило трех сигм - Дисперсия случайной величины мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или.… … Википедия

Шесть сигм - (англ. six sigma) концепция управления производством, разработанная в корпорации Motorola в 1980 е годы и популяризированная в середине 1990 х после того, как Джек Уэлч применил её как ключевую стратегию в General Electric. Суть… … Википедия

Среднеквадратическое отклонение - (синонимы: среднеквадратичное отклонение, квадратичное отклонение; близкие термины: стандартное отклонение, стандартный разброс) в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины … Википедия

Выборочное стандартное отклонение - Стандартное отклонение (иногда среднеквадратичное отклонение) в теории вероятности и статистике наиболее распространенный показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. Измеряется в единицах… … Википедия

Нормальное распределение - Плотность вероятности Зеленая лин … Википедия

НЕРВНАЯ СИСТЕМА - НЕРВНАЯ СИСТЕМА. Содержание: I. Эмбриогенез, гистогенез и филогенез Н.с. . 518 II. Анатомия Н. с. 524 III. Физиология Н. с. 525 IV. Патология Н.с. 54? I. Эмбриогенез, гистогенез и филогенез Н. е.… … Большая медицинская энциклопедия

Отряд Кремнероговые губки (Cornacuspongida) - Самая многочисленная группа губок. Это преимущественно мягкие эластичные формы. Скелет их образован одноосными иглами. Всегда имеется в том или ином количестве спонгин, с помощью которого иглы склеиваются между собой в пучки или волокна … Биологическая энциклопедия

Математи́ческие ме́тоды - в медицине совокупность методов количественного изучения и анализа состояния и (или) поведения объектов и систем, относящихся к медицине и здравоохранению. В биологии, медицине и здравоохранении в круг явлений, изучаемых с помощью М.м., входят… … Медицинская энциклопедия

Расчет себестоимости по видам деятельности - Содержание 1 Менеджмент на основе хозяйственной деятельности 2 Разработка деловой ситуации 3 … Википедия

Расчёт себестоимости по видам деятельности - Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Расчёт себестоимости по видам деятельности (Activity Based Costing, ABC) это специальная модель описания затрат, которая идентифицирует работы фирмы … Википедия

Правило трёх сигм

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм .

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа :

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Это правило называется правилом трех сигм .

Не практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание а = 65 т и средним квадратичным отклонением s = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (100×65 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т.

Т.к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.

Получаем :

Пример. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – а = 2 – математическое ожидание и s = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.

Плотность распределения имеет вид:

Построим график :

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3).

Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2.

Тот же результат может быть получен с использованием нормированной функции Лапласа.

Центральная предельная теорема Ляпунова

Теорема. Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

На практике для большинства случайных величин выполняются условия теоремы Ляпунова.

Правило 3 сигм в статистика

Здравствуйте!
Скажите а существует ли многомерный аналог правила трёх сигм.
В частности аналог правила трёх сигм для двумерного нормального распределения.
Спасибо.

Ну, например, для стандартного нормального случайного вектора вероятность попасть в круг P(X^2+Y^2

как такового аналога не существует. Просто можно самому расчитать эти вероятности, как это сделали Вы.
Спасибо.

Я могу просто быть не в курсе каких-то инженерно-известных формул.

Скажем, артиллерийское правило считать, что снаряды вне прямоугольника 8Вдх8Вб не ложатся.
(Вд, Вб и Вб это «вероятные отклонения», то есть такие, для которые вероятность получить отклонения более 1Во 50%, то же, что семиинтерквартильные отклонения; приблизительно равны 2/3Сигма).
Очевидно, это правило почти соответствует применению правила «3Сигма» к каждой координате.
Однако в многомерном случае появляется проблема учёта зависимости случайных величин, которая заставляет либо постулировать их независимость (и применять «3Сигма» по каждой величине в отдельности), либо узнавать корреляции и проводить полный расчёт вместо «правила большого пальца».

Если взять фунцию плотности N-мерного нормального распределения самого общего вида и рассмотреть его сечение p(x) = a, где a — меньше плотности в максимуме, то получится эллипсоид (в двумерном случае — эллипс). Если теперь повернуть систему координат x таким образом, чтобы её оси совпадали с главными осями эллипсоида, то в этих координатах плотность распределения запишется как произведение N одномерных нормальных плотностей для координат x1, x2, . и т.д. (с разными сигмами, конечно). Для каждой координаты имеем сответствующую вероятность выхода за три сигмы. А дальше — как Вам будет удобно: Можно посчитать вероятность выхода за параллелепипед со сторонами в шесть сигм по каждой координате — это просто 1 — (1-p)^N. А можно посчитать вероятность выхода за пределы эллипсоида с полуосями в три сигмы (что более правильно) — мне это лень, но вообще-то это нетрудно.

Помогите, пожалуйста, решить задачу.

Студент иванов бросал монету N раз и у него M раз выпал герб. Величина N/2-M=100. При каком минимальном значении числа N это возможно. Использовать правило трех сигм.

Единственное число N, при котором такое возможно, равно 200+2M. Правило трёх сигм тут ни при чём, или посоветуйте Вашему преподавателю корректнее формулировать задачи.

16.7. Показательное распределение.

Определение . Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х , которое описывается плотностью

В отличие от нормального распределения, показательный закон определяется только одним параметром λ . В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.

Найдем функцию распределения показательного закона:

Следовательно,

Теперь можно найти вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в интервал (а, b ):

Значения функции е -х можно найти из таблиц.

16.8. Функция надежности.

Пусть элемент (то есть некоторое устройство) начинает работать в момент времени t 0 = 0 и должен проработать в течение периода времени t . Обозначим за Т непрерывную случайную величину – время безотказной работы элемента, тогда функция F (t ) = p (T > t ) определяет вероятность отказа за время t . Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время равна

R (t ) = p (T > t ) = 1 – F (t ).

Эта функция называется функцией надежности .

16.9. Показательный закон надежности.

Часто длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение, то есть

F (t ) = 1 – e - λt .

Следовательно, функция надежности в этом случае имеет вид:

R (t ) = 1 – F (t ) = 1 – (1 – e -λt ) = e -λt .

Определение . Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством

R (t ) = e - λt ,

где λ – интенсивность отказов.

Пример. Пусть время безотказной работы элемента распределено по показательному закону с плотностью распределения f (t ) = 0,1 e - 0,1 t при t ≥ 0. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 10 часов.

Решение. Так как λ = 0,1, R (10) = e -0,1 · 10 = e -1 = 0,368.

16.10. Математическое ожидание.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М (Х ) = х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + х п р п .

Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то
, если полученный ряд сходится абсолютно.

Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним , так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольше-го.

Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучай-ная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непре-рывных случайных величин.

Пример. Найдем математическое ожидание случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных. Составим ряд распределения для Х . Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3. Тогда

Пример 2. Определим математическое ожидание случайной величины Х – числа бросков монеты до первого появления герба. Эта величина может принимать бесконечное число значений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Ряд ее распределения имеет вид:


				(0,5) п

+(при вычислении дважды использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
, откуда).

Свойства математического ожидания.

Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

М (С ) = С.

Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью р = 1, то М (С ) = С ·1 = С .

Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания:

М (СХ ) = С М (Х ).

Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения

x i				x n
p i				p n

то ряд распределения для СХ имеет вид:

С x i	С x 1	С x 2		С x n
p i				p n

Тогда М (СХ ) = Сх 1 р 1 + Сх 2 р 2 + … + Сх п р п = С ( х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + х п р п ) = СМ (Х ).

Определение. Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы .

Определение. Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY , возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y , а соответствующие им вероят-ности равны произведениям вероятностей сомножителей.

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M (XY ) = M (X )M (Y ).

Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:

x i
p i

у i
g i

Тогда ряд распределения для XY выглядит так:

Х Y	x 1 y 1	x 2 y 1	x 1 y 2	x 2 y 2
	p 1 g 1	p 2 g 1	p 1 g 2	p 2 g 2

Следовательно, M (XY ) = x 1 y 1 ·p 1 g 1 + x 2 y 1 ·p 2 g 1 + x 1 y 2 ·p 1 g 2 + x 2 y 2 ·p 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + y 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M (X )·M (Y ).

Замечание 1. Аналогично можно доказать это свойство для большего количества возможных значений сомножителей.

Замечание 2. Свойство 3 справедливо для произведения любого числа независимых случайных величин, что доказывается методом математической индукции.

Определение. Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х + Y , возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y ; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или незави-симых) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M (X + Y ) = M (X ) + M (Y ).

Доказательство.

Вновь рассмотрим случайные величины, заданные рядами распределения, приведен-ными при доказательстве свойства 3. Тогда возможными значениями X + Y являются х 1 + у 1 , х 1 + у 2 , х 2 + у 1 , х 2 + у 2 . Обозначим их вероятности соответственно как р 11 , р 12 , р 21 и р 22 . Найдем М (Х +Y ) = (x 1 + y 1)p 11 + (x 1 + y 2)p 12 + (x 2 + y 1)p 21 + (x 2 + y 2)p 22 =

= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).

Докажем, что р 11 + р 22 = р 1 . Действительно, событие, состоящее в том, что X + Y примет значения х 1 + у 1 или х 1 + у 2 и вероятность которого равна р 11 + р 22 , совпадает с событием, заключающемся в том, что Х = х 1 (его вероятность – р 1). Аналогично дока-зывается, что p 21 + p 22 = р 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2 . Значит,

M (X + Y ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X ) + M (Y ).

Замечание . Из свойства 4 следует, что сумма любого числа случайных величин равна сумме математических ожиданий слагаемых.

Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броске пяти игральных костей.

Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при броске одной кости:

М (Х 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
Тому же числу равно математическое ожидание числа очков, выпавших на любой кости. Следовательно, по свойству 4М (Х )=

Смотреть что такое "Правило трёх сигм" в других словарях:

Пример решения задачи

Решение:

1. Виды взаимосвязи.

2. Основные задачи корреляционного анализа.

3. Коэффициент корреляции и его свойства.

4. Методы вычисления коэффициентов взаимосвязи.

Правило 3 сигм в статистика

Правило трёх сигм

Смотреть что такое «Правило трёх сигм» в других словарях:

Правило трёх сигм

Центральная предельная теорема Ляпунова

Правило 3 сигм в статистика

Популярное:

16.7. Показательное распределение.

16.8. Функция надежности.

16.9. Показательный закон надежности.

16.10. Математическое ожидание.