В начале 1970 года американский математик Томас Саати разработал процедуру поддержки принятия решений, которую назвал "Analityc hierarchy process" (AHP). Авторы русского издания перевели это название как "Метод анализа иерархий" (см. книгу: Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. - М.: Радио и Связь, 1993). Этот метод относится к классу критериальных и занимает особое место, благодаря тому, что он получил исключительно широкое распространение и активно применяется по сей день, особенно в США. По этой причине он заслуживает подробного описания в отдельном разделе. Не следует думать, что его выдающаяся популярность объясняется какими-либо важными преимуществами этого метода, по сравнению с другими. Я думаю, что здесь мы сталкиваемся с известным психологическим феноменом: продукт, появившийся первым и удачно удовлетворяющий определенную потребность, захватывает рынок. Более поздние продукты, зачастую более совершенные, часто оказываются неспособны вытеснить удачливого первенца.
На основе этого метода разработаны достаточно серьезные системы поддержки принятия решений, например "Expert choice"
Описание метода выполним на конкретном примере выбора автомобиля.
Альтернативы:
- Жигули
- Москвич
- Волга
Критерии:
- стиль
- надежность
- экономия топлива
В основе АНР все та же линейная свертка, но оценки альтернатив и веса критериев получаются особым образом. Его мы сейчас и рассмотрим.
В модели АНР вместо критериальной таблицы принята иерархия. Представим ее следующим образом:
Уровень 0: Цель - выбрать автомобиль.
Уровень 1: Критерии -
– надежность
– экономичность
Уровней может быть сколько угодно. Например, критерий 1-го уровня "надежность" можно раскрыть уровнем 2 как: 1) надежность двигателя, 2) надежность кузова, 3) надежность ходовой части. Надежность ходовой части можно далее раскрыть уровнем 3, например, как а) надежность тормозной системы, б) надежность подвески и т.д. Мы же, для простоты объяснения, ограничимся Уровнем 1.
Теперь нужно получить оценки каждой альтернативы по каждому критерию. Если существуют объективные оценки, то они просто выписываются и нормируются таким образом, чтобы их сумма была равна единице. Например, если бы нас интересовал критерий "максимальная скорость" и имелись бы соответствующие данные по каждому автомобилю, то нужно было бы составить следующую таблицу.
А как быть с таким критерием как "стиль", для которого не существует объективных оценок? В этом случае процедура Саати рекомендует использовать парные сравнения. Для фиксации результата сравнения пары альтернатив может использоваться, например, шкала следующего типа:
Лицо, принимающее решение (ЛПР), просят попарно сравнить альтернативы. Результат парных сравнений альтернатив для критерия "стиль" записывается в виде таблицы
Простые дроби в клетках трактуются следующим образом. Например, на пересечении строки "Москвич" и столбца "Жигули" записана дробь 4/1. Это выражает мнение ЛПР о том, что "стильность" Москвича" в 4 раза выше, чем "стильность" Жигулей. Здесь вместо приведенной выше шкалы превосходства использовалось понятие "быть лучше в N раз", что также допустимо. Далее простые дроби переводятся в десятичные. Получается такая таблица.
Эта таблица есть не что иное, как таблица результатов парных сравнений (см. раздел "Некритериальное структурирование множества альтернатив"). Поступим с ней так же, как мы поступали в указанном разделе - посчитаем строчные суммы .
| Жигули | Москвич | Иж | Волга | Сумма по строке | |
| Жигули | 1,00 | 0,25 | 4,00 | 0,17 | 5,42 |
| Москвич | 4,00 | 1,00 | 4,00 | 0,25 | 9,25 |
| Иж | 0,25 | 0,25 | 1,00 | 0,20 | 1,70 |
| Волга | 6,00 | 4,00 | 5,00 | 1,00 | 16,00 |
|
Сумма |
32,37 |
Теперь, в отличие от прежнего, нормируем суммы таким образом, чтобы их сумма в свою очередь была равна 1. Для этого просто разделим сумму каждой строки на 32,37 (сумма последнего столбца, т.е. сумма самих строчных сумм). Получим:
| Жигули | Москвич | Иж | Волга | Сумма | |
| Жигули | 1,00 | 0,25 | 4,00 | 0,17 | 0,116 |
| Москвич | 4,00 | 1,00 | 4,00 | 0,25 | 0,247 |
| Иж | 0,25 | 0,25 | 1,00 | 0,20 | 0,060 |
| Волга | 6,00 | 4,00 | 5,00 | 1,00 | 0,577 |
| Сумма | 1,00 |
В методе Саати полученные таким образом нормированные суммы принимаются в качестве оценок альтернатив по критерию "стильность". Отметим, что полученные оценки отражают исключительно точку зрения конкретного ЛПР. На самом деле, вместо строчных сумм Саати рекомендует использовать собственный вектор матрицы парных сравнений, считая его более точной оценкой. Мы же для простоты ограничимся строчными суммами, которые допустимы, но, с точки зрения Саати, менее точны.
Аналогичным образом получаются веса критериев. Предположим, конкретное ЛПР сравнило попарно критерии с точки зрения их сравнительной важности. Запишем результаты сравнений в виде таблицы.
Как и прежде, утверждение типа "надежность в 2 раза важнее стиля" записывается в виде дроби 2/1.
Применяя к этой таблице описанную выше процедуру, получим веса критериев:
w 1 = 0,32 (стиль), w 2 = 0,56 (надежность), w 3 = 0,12 (экономичность).
Таким образом, мы можем получить как веса критериев, так и оценки альтернатив по критериям:
Жигули - 0,306;
Москвич - 0,272;
Иж
- 0,094;
Волга - 0,328.
Затем производится анализ отношения стоимость/эффективность. Используется отношение полученной интегральной оценки к нормированной стоимости. Наилучшей считается альтернатива, для которой указанное отношение максимально .
В рамках нашего примера, сведем все необходимые данные в следующую таблицу:
| Стоимость в $ |
Стоимость |
Функция |
Отношение | |
| Жигули | 4 000 | 0,24 | 0,306 | 1,28 |
| Москвич | 3 000 | 0,18 | 0,272 | 1,51 |
| Иж | 2 500 | 0,15 | 0,094 | 0,63 |
| Волга | 7 000 | 0,43 | 0,328 | 0,76 |
|
Сумма |
16 000 | 1,00 | 1,00 |
Таким образом, учитывая предпочтения данного конкретного ЛПР, процедура АНР рекомендует ему выбрать Москвич.
Несколько заключительных замечаний
Как я уже отметил в начале этого раздела, исключительно широкий опыт практического использования АНР придал процедуре этакий магический ореол. Не смотря на это, я попробую, по возможности объективно, отметить ее достоинства и недостатки.
Главным достоинством процедуры я считаю тот факт, что веса критериев и оценки по субъективным критериям не назначаются прямым волевым методом (как чаще всего пытаются делать, не сильно задумываясь о корректности такого волюнтаризма), а на основе парных сравнений. При этом, на мой взгляд, остается неопределенным (интуитивным) понятие "превосходство в N раз", но все равно - это большой шаг вперед. Нельзя не отметить, что сравнительно недавно Подиновским сделана попытка точно определить, что означает количественное превосходство одного критерия над другим (см. журнал "Автоматика и телемеханика" №5 за 2000 год).
Другое достоинство - представление критериев в виде иерархии (дерева). Такая структура, если вдуматься, внутренне присуща самому понятию "критерий", т.е. критерии по своей природе иерархичны. Используя одну критериальную таблицу, мы по сути дела упрощаем ситуацию, выполняя оценку либо для верхних уровней дерева критериев, либо для самых нижних (как говорят математики "для листьев дерева"). Большой беды в этом нет, но при оценке сложных альтернатив полезнее мыслить в терминах дерева критериев.
Теперь о недостатках. Первый касается шкалы превосходства. Напомню, что Саати предлагает следующую шкалу:
Теперь представим ситуацию, когда одновременно справедливы следующие 2 утверждения: а) "альтернатива А1 очень сильно превосходит альтернативу А2" и б) "альтернатива А2 очень сильно превосходит альтернативу А3". Что можно сказать о превосходстве альтернативы А1 над альтернативой А3? Логично было бы сделать заключение, что альтернатива А1 превосходит альтернативу А3 в 49 раз (7 умножить на 7)!? Но этот вывод явно не укладывается в рамки заданной шкалы. Как же быть? Процедура АНР не дает ответа на этот каверзный вопрос. Скорее всего, придется удовлетвориться утверждением типа: "альтернатива А1 имеет высшее превосходство над альтернативой А3" и в дальнейшем использовать градацию шкалы "9".
Основной недостаток, на мой взгляд, заключается в том, что парные сравнения используются для получения количественных значений. Серьезные исследования последнего десятилетия приводят к выводу, что корректнее и надежнее использовать парные сравнения для получения только качественных заключений, типа: "критерий К1 важнее критерия К2", не уточняя на сколько важнее.
Метод анализа иерархий Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией.
Метод Анализа Иерархий (МАИ) - математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Этот метод разработан американским математиком Томасом Саати, который написал о нем книги, разработал программные продукты и в течение 20 лет проводит симпозиумы ISAHP (англ. International Symposium on Analytic Hierarchy Process ). МАИ широко используется на практике и активно развивается учеными всего мира. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения. Метод Анализа Иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе , промышленности , здравоохранении и образовании . Для компьютерной поддержки МАИ существуют программные продукты, разработанные различными компаниями. Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение. Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки . Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне. Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свертка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.
Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией
В данной задаче необходимо выбрать из трех кандидатов одного на должность руководителя. Кандидаты оцениваются по критериям: возраст, опыт, образование и личные качества. На рисунке показана иерархия для этой задачи. Простейшая иерархия содержит три уровня: цель, критерии и альтернативы. Числа на рисунке показывают приоритеты элементов иерархии с точки зрения цели, которые вычисляются в МАИ на основе парных сравнений элементов каждого уровня относительно связанных с ними элементами вышерасположенного уровня. Приоритеты альтернатив относительно цели (глобальные приоритеты) вычисляются на заключительном этапе метода путем линейной свертки локальных приоритетов всех элементов. В данном примере лучшим кандидатом является Дик, так как имеет максимальное значение глобального приоритета.
Сфера образования и научных исследований
Хотя для практического применения МАИ отсутствует необходимость специальной подготовки, основы метода преподают во многих учебных заведениях . Кроме того, этот метод широко применяется в сфере управления качеством и читается в рамках многих специализированных программ, таких как Six Sigma, Lean Six Sigma, и QFD . Около ста китайских университетов предлагают курсы по основам МАИ, и многие соискатели научных степеней выбирают МАИ в качестве объекта научных и диссертационных исследований. Опубликовано более 900 научных статей по данной тематике. Существует китайский научный журнал, специализирующийся в области МАИ . Раз в два года проводится Международный симпозиум, посвященный МАИ (International Symposium on Analytic Hierarchy Process, ISAHP), на котором встречаются как ученые, так и практики, работающие с МАИ. В 2007 году симпозиум проходил в Вальпараисо, Чили, где было представлено более 90 докладов ученых из 19 стран, включая США, Германию, Японию, Чили, Малайзию, и Непал .
Устройство для удаленного ввода и обработки оценок
Методика применения МАИ
Метод анализа иерархий содержит процедуру синтеза приоритетов, вычисляемых на основе субъективных суждений экспертов. Число суждений может измеряться дюжинами или даже сотнями. Математические вычисления для задач небольшой размерности можно выполнить вручную или с помощью калькулятора, однако гораздо удобнее использовать программное обеспечение (ПО) для ввода и обработки суждений. Самый простой способ компьютерной поддержки - электронные таблицы, самое развитое ПО предусматривает применение специальных устройств для ввода суждений участниками процесса коллективного выбора. Порядок применения Метода Анализа Иерархий:
Рассмотрим эти шаги подробнее.
Моделирование проблемы в виде иерархии
Первый шаг МАИ - построение иерархической структуры, объединяющей цель выбора, критерии, альтернативы и другие факторы, влияющие на выбор решения. Построение такой структуры помогает проанализировать все аспекты проблемы и глубже вникнуть в суть задачи.
Определение иерархической структуры
Иерархическая структура - это графическое представление проблемы в виде перевернутого дерева, где каждый элемент, за исключением самого верхнего, зависит от одного или более выше расположенных элементов. Часто в различных организациях распределение полномочий, руководство и эффективные коммуникации между сотрудниками организованы в иерархической форме.
Иерархические структуры используются для лучшего понимания сложной реальности: мы раскладываем исследуемую проблему на составные части; затем разбиваем на составные части получившиеся элементы и т. д. На каждом шаге важно фокусировать внимание на понимании текущего элемента, временно абстрагируясь от всех прочих компонентов. При проведении подобного анализа приходит понимание всей сложности и многогранности исследуемого предмета.
В качестве примера можно привести иерархическую структуру, которая используется при обучении в медицинских вузах . В рамках изучения анатомии отдельно рассматривается костно-мышечная система (которая включает такие элементы, как руки и их составляющие: мышцы и кости), сердечнососудистая система (и ее множественные уровни), нервная система (и ее компоненты и подсистемы) и т. д. Степень детализации доходит до клеточного и молекулярного уровня. В конце изучения приходит понимание системы организма в целом, а также осознание того, какую роль играет в нем занимает каждая часть. С помощью подобного иерархического структурирования студенты приобретают всесторонние знания об анатомии.
Аналогичным образом, когда мы решаем сложную проблему, мы можем использовать иерархию как инструмент для обработки и восприятия больших объемов информации. По мере проектирования этой структуры у нас формируется все более полное понимание проблемы .
Простейшая иерархия МАИ. Чтобы избежать беспорядка в диаграммах МАИ, связи, соединяющие Альтернативы и их покрывающие Критерии, часто опускаются, или их количество искусственно уменьшается. Несмотря на такие упрощения в диаграмме, в самой иерархии каждая Альтернатива связана с каждым из покрывающих ее Критериев.Объяснение иерархических структур, используемых в МАИ
Иерархические структуры, используемые в МАИ, представляет собой инструмент для качественного моделирования сложных проблем. Вершиной иерархии является главная цель; элементы нижнего уровня представляют множество вариантов достижения цели (альтернатив); элементы промежуточных уровней соответствуют критериям или факторам, которые связывают цель с альтернативами. Существуют специальные термины для описания иерархической структуры МАИ. Каждый уровень состоит из узлов. Элементы, исходящие из узла, принято называть его детьми (дочерними элементами). Элементы, из которых исходит узел, называются родительскими. Группы элементов, имеющие один и тот же родительский элемент, называются группами сравнения. Родительские элементы Альтернатив, как правило, исходящие из различных групп сравнения, называются покрывающими Критериями. Используя эти термины для описания представленной ниже диаграммы, можно сказать, что четыре Критерия - это дети Цели; в свою очередь, Цель - это родительский элемент для любого из Критериев. Каждая Альтернатива - это дочерний элемент каждого из включающих ее Критериев. Всего на диаграмме присутствует две группы сравнения: группа, состоящая из четырех Критериев и группа, включающая три Альтернативы. Вид любой иерархии МАИ будет зависеть не только от объективного характера рассматриваемой проблемы, но и от знаний, суждений, системы ценностей, мнений, желаний и т. п. участников процесса. Опубликованные описания применений МАИ часто включают в себя различные схемы и объяснения представленных иерархий . Последовательное выполнение всех шагов МАИ предусматривает возможность изменения структуры иерархии, с целью включения в неё вновь появившихся, или ранее не считавшихся важными, Критериев и Альтернатив .
Расстановка приоритетов
После построения иерархии участники процесса используют МАИ для определения приоритетов всех узлов структуры. Информация для расстановки приоритетов собирается со всех участников и математически обрабатывается. В данном разделе приведена информация, на простом примере поясняющая процесс вычисления приоритетов.
Определение приоритетов и пояснения
Приоритеты - это числа, которые связаны с узлами иерархии. Они представляют собой относительные веса элементов в каждой группе. Подобно вероятностям, приоритеты - безразмерные величины, которые могут принимать значения от нуля до единицы. Чем больше величина приоритета, тем более значимым является соответствующий ему элемент. Сумма приоритетов элементов, подчиненных одному элементу выше лежащего уровня иерархии, равна единице. Приоритет цели по определению равен 1.0. Рассмотрим простой пример, поясняющий методику вычисления приоритетов.
Простейшая иерархическая структура МАИ с приоритетами, определенными по умолчанию.На рисунке показана иерархия, в которой приоритеты всех элементов не устанавливались ЛПР. В таком случае по умолчанию приоритеты элементов считаются одинаковыми, то есть все четыре критерия имеют равную важность с точки зрения цели, а приоритеты всех альтернатив равны по всем критериями. Другими словами, альтернативы в этом примере неразличимы. Заметим, что сумма приоритетов элементов любого уровня, равна единице. Если бы альтернатив было две, то их приоритеты были бы равны 0.500, если бы критериев было 5, то приоритет каждого был бы равен 0.200. В этом простом примере приоритеты альтернатив по разным критериям могут не совпадать, что обычно и бывает на практике. Приведем пример, в котором локальные приоритеты альтернатив по разным критериям не совпадают. Глобальные приоритеты альтернатив относительно цели вычисляются путем умножения локального приоритета каждой альтернативы на приоритет каждого критерия и суммирования по всем критериям.
Более сложная иерархическая структура, содержащая глобальные и локальные значения приоритетов по умолчанию.Если приоритеты критериев изменятся, то изменятся значения глобальных приоритетов альтернатив, следовательно, может измениться их порядок. На рисунке показано решение данной задачи с изменившимися значениями приоритетов критериев, при этом наиболее предпочтительной альтернативой становится A3.
Метод анализа иерархий (МАИ) - математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений.
МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к её решению.
Этот метод разработан американским математиком Томасом Л. Саати , который написал о нем книги, разработал программные продукты и в течение 20 лет проводит симпозиумы ISAHP (англ. International Symposium on Analytic Hierarchy Process ). МАИ широко используется на практике и активно развивается учеными всего мира. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения. Метод анализа иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе , промышленности , здравоохранении и образовании .
Для компьютерной поддержки МАИ существуют программные продукты, разработанные различными компаниями.
Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение.
Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки . Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне.
Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свертка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.
Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией
В данной задаче необходимо выбрать из трех кандидатов одного на должность руководителя (см. рисунок). Кандидаты оцениваются по критериям: возраст, опыт, образование и личные качества. На рисунке показана иерархия для этой задачи. Простейшая иерархия содержит три уровня: цель, критерии и альтернативы. Числа на рисунке показывают приоритеты элементов иерархии с точки зрения цели, которые вычисляются в МАИ на основе парных сравнений элементов каждого уровня относительно связанных с ними элементами вышерасположенного уровня. Приоритеты альтернатив относительно цели (глобальные приоритеты) вычисляются на заключительном этапе метода путём линейной свертки локальных приоритетов всех элементов. В данном примере лучшим кандидатом является Дик, так как имеет максимальное значение глобального приоритета
Сфера образования и научных исследований
Хотя для практического применения МАИ отсутствует необходимость специальной подготовки, основы метода преподают во многих учебных заведениях . Кроме того, этот метод широко применяется в сфере управления качеством и читается в рамках многих специализированных программ, таких как Six Sigma, Lean Six Sigma, и QFD .
Раз в два года проводится Международный симпозиум, посвященный МАИ (International Symposium on Analytic Hierarchy Process, ISAHP), на котором встречаются как ученые, так и практики, работающие с МАИ. В 2007 году симпозиум проходил в Вальпараисо, Чили, где было представлено более 90 докладов ученых из 19 стран, включая США, Германию, Японию, Чили, Малайзию, и Непал .
Методика применения МАИ
Метод анализа иерархий содержит процедуру синтеза приоритетов, вычисляемых на основе субъективных суждений экспертов. Число суждений может измеряться дюжинами или даже сотнями. Математические вычисления для задач небольшой размерности можно выполнить вручную или с помощью калькулятора, однако гораздо удобнее использовать программное обеспечение (ПО) для ввода и обработки суждений. Самый простой способ компьютерной поддержки - электронные таблицы, самое развитое ПО предусматривает применение специальных устройств для ввода суждений участниками процесса коллективного выбора.
Порядок применения МАИ:
Рассмотрим эти шаги подробнее.
Моделирование проблемы в виде иерархии
Первый шаг МАИ - построение иерархической структуры, объединяющей цель выбора, критерии, альтернативы и другие факторы, влияющие на выбор решения. Построение такой структуры помогает проанализировать все аспекты проблемы и глубже вникнуть в суть задачи.
Определение иерархической структуры
Объяснение иерархических структур, используемых в МАИ
Иерархические структуры, используемые в МАИ, представляют собой инструмент для качественного моделирования сложных проблем. Вершиной иерархии является главная цель; элементы нижнего уровня представляют множество вариантов достижения цели (альтернатив); элементы промежуточных уровней соответствуют критериям или факторам, которые связывают цель с альтернативами.
Существуют специальные термины для описания иерархической структуры МАИ. Каждый уровень состоит из узлов. Элементы, исходящие из узла, принято называть его детьми (дочерними элементами). Элементы, из которых исходит узел, называются родительскими. Группы элементов, имеющие один и тот же родительский элемент, называются группами сравнения. Родительские элементы альтернатив, как правило, исходящие из различных групп сравнения, называются покрывающими критериями. Используя эти термины для описания представленной ниже диаграммы, можно сказать, что четыре критерия - это дети цели; в свою очередь, цель - это родительский элемент для любого из критериев. Каждая Альтернатива - это дочерний элемент каждого из включающих её критериев. Всего на диаграмме присутствует две группы сравнения: группа, состоящая из четырех критериев и группа, включающая три Альтернативы.
Вид любой иерархии МАИ будет зависеть не только от объективного характера рассматриваемой проблемы, но и от знаний, суждений, системы ценностей, мнений, желаний и т. п. участников процесса. Опубликованные описания применений МАИ часто включают в себя различные схемы и объяснения представленных иерархий . Последовательное выполнение всех шагов МАИ предусматривает возможность изменения структуры иерархии, с целью включения в неё вновь появившихся, или ранее не считавшихся важными, критериев и Альтернатив .
Расстановка приоритетов
После построения иерархии участники процесса используют МАИ для определения приоритетов всех узлов структуры. Информация для расстановки приоритетов собирается со всех участников и математически обрабатывается. В данном разделе приведена информация, на простом примере поясняющая процесс вычисления приоритетов.
Определение приоритетов и пояснения
Приоритеты - это числа, которые связаны с узлами иерархии. Они представляют собой относительные веса элементов в каждой группе. Подобно вероятностям, приоритеты - безразмерные величины, которые могут принимать значения от нуля до единицы. Чем больше величина приоритета, тем более значимым является соответствующий ему элемент. Сумма приоритетов элементов, подчиненных одному элементу выше лежащего уровня иерархии, равна единице. Приоритет цели по определению равен 1.0. Рассмотрим простой пример, поясняющий методику вычисления приоритетов.
На рисунке показана иерархия, в которой приоритеты всех элементов не устанавливались ЛПР. В таком случае по умолчанию приоритеты элементов считаются одинаковыми, то есть все четыре критерия имеют равную важность с точки зрения цели, а приоритеты всех альтернатив равны по всем критериями. Другими словами, альтернативы в этом примере неразличимы. Заметим, что сумма приоритетов элементов любого уровня, равна единице. Если бы альтернатив было две, то их приоритеты были бы равны 0.500, если бы критериев было 5, то приоритет каждого был бы равен 0.200. В этом простом примере приоритеты альтернатив по разным критериям могут не совпадать, что обычно и бывает на практике.
Приведем пример, в котором локальные приоритеты альтернатив по разным критериям не совпадают. Глобальные приоритеты альтернатив относительно цели вычисляются путём умножения локального приоритета каждой альтернативы на приоритет каждого критерия и суммирования по всем критериям.
Если приоритеты критериев изменятся, то изменятся значения глобальных приоритетов альтернатив, следовательно, может измениться их порядок. На рисунке показано решение данной задачи с изменившимися значениями приоритетов критериев, при этом наиболее предпочтительной альтернативой становится A3.
См.также
Примечания
- Saaty, Thomas L. (2008-06). “Relative Measurement and its Generalization in Decision Making: Why Pairwise Comparisons are Central in Mathematics for the Measurement of Intangible Factors - The Analytic Hierarchy/Network Process” (PDF) . RACSAM (Review of the Royal Spanish Academy of Sciences, Series A, Mathematics) . 102 (2): 251-318. Проверено 2008-12-22 . Проверьте дату в |date= (справка на английском)
- Drake, P.R. (1998). “Using the Analytic Hierarchy Process in Engineering Education” (PDF) . International Journal of Engineering Education . 14 (3): 191-196. Архивировано из оригинала (PDF) 2007-11-28. Проверено 2007-08-20 . Используется устаревший параметр |deadlink= (справка)
- Bodin, Lawrence; Saul I. Gass (January, 2004). “Exercises for Teaching the Analytic Hierarchy Process” ((недоступная ссылка) - Scholar search) . INFORMS Transactions on Education . 4 (2). Проверено 2009-03-11 . Используется устаревший параметр |coauthors= (справка); Проверьте дату в |date= (справка на английском)
- Hallowell, David L. (January 2005). “Analytical Hierarchy Process (AHP) – Getting Oriented” . ISixSigma.com . Архивировано из оригинала 2007-08-11. Проверено 2007-08-21 . Используется устаревший параметр |month= (
В рамках теории принятия решений процедура согласования результатов может быть рассмотрена как многокритериальная задача, в которой альтернативами являются подходы оценки недвижимости. Для получения весов этих подходов необходимо выбрать критерии оценки альтернатив. В литературе встречаются различные варианты выбора критериев для процедуры согласования, например может быть предложен вариант, в которой отражены рассуждения, проведенные выше. Эти критерии в совокупности достаточно хорошо позволяют оценить специфику проводимых расчетов рыночной стоимости недвижимости в рамках каждого из применяемых подходов. Таким образом, в действительности речь идет о применимости подходов и методов оценки.
Метод анализа иерархий (МАИ) (Analytic Hierarchy Process — АНР) является математической процедурой для иерархического представления сущностных элементов на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательных суждений оценщика по парным сравнениям. В результате может быть выражена относительная степень (интенсивность) взаимодействия элементов в иерархии. Эти суждения затем выражаются численно.
Главное преимущество метода анализа иерархий, разработанного американским математиком Т. Саати, заключается в возможности сравнивать критерии и варианты решений попарно, что существенно облегчает обоснование сделанных выводов.
Пример иерархии
Алгоритм МАИ состоит из следующих этапов:
1. Структурировать проблему согласования результатов в виде иерархии и построить ее (рис. 15.1).
Например, в результате оценки получены следующие результаты:
- сравнительный подход — 2 950 000 у.е.;
- затратный подход — 2 440 000 у.е.;
- доходный подход — 2 980 000 у.е.
-
Тогда проблема согласования результатов может быть представлена в виде иерархии, где верхний уровень — цель — определение рыночной стоимости; промежуточный уровень — критерии согласования (их указано четыре), нижний уровень — набор альтернатив — результаты, полученные применением различных подходов оценки.
Далее использован следующий набор из пяти критериев:
а) адекватность подхода цели оценки;
б) наличие необходимой и достоверной информации, на основе которой проводится анализ;
в) способность используемого подхода учитывать влияние рыночной ситуации, отражать конъюнктурные колебания;
г) адекватность применения подхода типу объекта недвижимости способность его учитывать специфические особенности объекта оценки, влияющие на его стоимость;
д) способность используемого подхода учитывать риски управления для оцениваемого объекта недвижимости.
2. Выполнить парные сравнения элементов каждого уровня. После иерархического воспроизведения проблемы строится матрица нения критериев и рассчитываются значения приоритетов критериев. В методе анализа иерархий все элементы задачи сравниваются повторно по отношению к их воздействию на общую для них характеристику. Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента ад другим. Для проведения субъективных парных сравнений Т. Саати была разработана шкала относительной важности. Система парных сравнений приводит к результату, который может быть представлен в виде обратно симметричной матрицы. Элементы матрицы обозначаются Аiy и представляют собой интенсивность продления элемента иерархии i относительно элемента иерархии j.
Пусть A1, Аn - множество из n элементов, W1 Wn - элементы иерархии - соотносятся следующим образом:
| А n | ||||
| А 1 | ||||
| А 2 | ||||
| А n | 1 |
При сравнении элементов, принадлежащих одному уровню иерархии, оценщик выражает свое мнение, используя одно из определений шкалы интенсивности. Интенсивность проявления обычно оценивается по шкале интенсивности в балльных оценках от 1 до 9, где балльные оценки имеют смысл, отраженный в табл. 15.2. В матрицу сравнения заносится соответствующее число. При желании оценщик может использовать и четные целые числа, выражая промежуточные уровни предпочтения по важности.
Выбор шкалы определялся следующими требованиями: I - шкала должна давать возможность улавливать разницу субъективной составляющей аналитиков, когда они проводят сравнения, различать как можно больше градаций оценок;
- эксперт должен быть уверенным во всех градациях своих суждений одновременно.
3. Вычислить коэффициенты значимости (важности) для элементов каждого уровня.
Вычисление весовых коэффициентов критериев согласования результатов оценки производится по формуле
Пример 15.3. Для указанных выше значений, полученных применением трех подходов оценки, и для пяти сформулированных выше критериев расчет весовых коэффициентов для каждого примененного подхода по каждому из критериев согласования
Итоговое значение рыночной стоимости объекта недвижимости определяется в соответствии с весом каждого из подходов
С учетом весов стоимостных оценок, полученных в результате применения классических подходов, средневзвешенное значение рыночной стоимости объекта оценки составит округленно 2 900 000 дол.
Результаты, полученные методом анализа иерархий, должны быть оценены с точки зрения здравого смысла. Весьма полезным инструментом иерархической теории является так называемый индекс согласованности (ИС), который позволяет диагностировать степень нарушения согласованности.
При расчете матрицы парных сравнений целесообразно учитывать лимит отклонения от согласованности. Если выявленные отклонения превышают установленные пределы, то суждения, занесенные в матрицу, следует перепроверить.
Индекс согласованности = (amax — п) : (п — 1).
Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, то получим отношение согласованности. Величина отношения согласованности не должна превышать 10%.
В каждом конкретном случае проведения процедуры согласования оценщик должен взвесить все за и против при выборе того или иного метода.
Так, опытный эксперт, привлеченный к проведению согласования результатов в рамках той же оценки, выполнил эту процедуру традиционным образом, используя экспертный метод. Он определял веса трех подходов по тем же критериям, которые были введены в примененном выше методе анализа иерархий, используя простейшую двубалльную шкалу (0; 1)
Оба метода дали одинаковые весовые коэффициенты, а следовательно, и результат согласования - итоговую величину стоимости. Этот пример показывает, что в каждой конкретной ситуации оценщику необходимо осознанно выбирать тот или иной метод исходя из принципа целесообразности.
Такое решение может быть принято после ответа на следующие вопросы:
1. Какой из методов предпочтительнее с точки зрения экономии ресурсов? От рационального использования трудовых ресурсов (работа экспертов) и ресурсов времени зависит эффективность процесса оценки.
2. В каком случае снижается доля субъективизма? В оценке всегда присутствует неизбежная доля субъективизма, который достаточно сильно влияет на точность расчетов. Соотношение количества принимаемых субъективных решений в традиционном экспертном методе и МАИ - не в пользу последнего.
3. Оценит ли заказчик применение сложных аналитических процедур прикладной математики для формализации процедуры согласования/ Понятно, что грамотное обоснование результатов согласования - необходимое требование к оформлению результатов оценки. Однако применение «изысканий» «на ровном месте» может сослужить оценщику плохую службу при установлении взаимопонимания с заказчиком.
Хочется еще раз подчеркнуть, что стоимость объекта оценки, указанная как итог в отчете, - это мнение независимого оценщика, и не более того. Покупатель имеет полное право с этим мнением не согласиться и в процессе переговоров предложить свою цену. Таким образом, цена сделки может достаточно серьезно отличаться от стоимости, которую определил оценщик в отчете. Причин этому может быть много, напри мер цена может зависеть от целей, стоящих перед покупателем, его субъективных мотиваций, особенностей проведенной сделки.
На Западе, как правило, оценочная стоимость компании незначительно отличается от цены заключаемой сделки. В российской действительности это расхождение часто составляет более 30%. Тем не менее грамотное и подтвержденное расчетами заключение оценщика, имеющего хорошую репутацию, может стать дополнительным аргументом при переговорах с потенциальным покупателем.
Расчётно-графическая работа
по дисциплине
«Теория систем и системный анализ»
ПРИМЕР ИЕРАРХИЧЕСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ПРИОРИТЕТОВ
Задача о выборе школы
Выполнила: студентка 1 курса ЭФ группы ПИб-11 Смирнова С.Ю.
Проверила: канд. физ.-мат. наук, доцент Пайзерова Ф.А.
Йошкар-Ола
Введение. 3
ПРИМЕР ИЕРАРХИЧЕСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ПРИОРИТЕТОВ.. 5
Критерии выбора школы.. 6
Метод анализа иерархии Саати. 7
Заключение. 20
Список литературы.. 23
Введение
В данной расчетно-графической работе будем рассматривать метод анализа иерархий.Цель метода анализа иерархий - разработка теории и методологии для моделирования неструктурированных задач в экономике, науке управления и социальных наука.
Метод анализа иерархий представляется более обоснованным путем решения многокритериальных задач в сложной обстановке с иерархическими структурами, включающими как осязаемые, так и неосязаемые факторы, чем подход, основанный на линейной логике. Применяя дедуктивную логику, исследователи проходят трудный путь построения тщательно осмысленных логических цепей только для того, чтобы в итоге, полагаясь на одну лишь интуицию, объединить различные умозаключения, полученные из этих дедуктивных посылок. Кроме того, подход, основанный на логических цепях, может не привести к наилучшему решению, так как в данном случае может быть потеряна возможность принятия компромиссов между факторами, лежащими в разных цепях логического мышления.
Метод анализа иерархий является замкнутой логической конструкцией, обеспечивающей с помощью простых правил анализ сложных проблем во всем их разнообразии и приводящей к наилучшему ответу. К тому же, применение метода позволяет включить в иерархию все имеющееся у исследователя по рассматриваемой проблеме знание и воображение. Это, с моей точки зрения, является балансированным путем решения трудной проблемы: оставить математику простой и позволить богатству структуры нести бремя сложности. Никакая математика не может заменить человеческий ум и опыт интерпретации реального мира. Независимо от того, насколько сложной может быть математика, она всё же не будет отражать все те элементы в проблеме, которые явно существенны для нас.
Сам метод заключается в декомпозиции проблемы на более простые составляющие части и поэтапном установлении приоритетов оцениваемых компонентов с использованием попарных сравнений. На первом этапе выделяются наиболее важные элементы проблемы, на втором – наилучший способ проверки наблюдений испытания и оценки элементов, на третьем – осуществляется выработка способа применения решения и оценка его качества. Весь процесс подвергается проверке и осмыслению до тех пор, пока не будет уверенности, что процесс охватил все важные характеристики, необходимые для предоставления проблемы и ее решения.
ПРИМЕР ИЕРАРХИЧЕСКОЙ КОМПОЗИЦИИ ПРИОРИТЕТОВ
Задача о выборе школы
Был проведен анализ трех школ A , B и C на предмет их желательности с точки зрения ученика 10 класса. Для сравнения были выбраны семь независимых характеристик: учеба, друзья, школьная жизнь, профессиональное обучение, подготовка к ВУЗУ, школьные кружки и питание
На первом уровне – цель – школа.
На втором уровне – 7 критериев, уточняющих цель.
На третьем уровне – 3 альтернативы (разные школы ).
Критерии выбора школы:
1) Учеба (выбор класса с уклоном по желанию: гуманитарный, социально-экономический, универсальный, биолого-химический, информационный и т.д.)
2) Друзья (хорошие отношения с одноклассниками, с друзьями по школе и т.п.)
3) Школьная жизнь (активное участие в жизни класса и школы, активная общественная деятельность, участие в школьном научном обществе)
4) Дополнительное обучение (художественная школа, школа начинающих фотографов, школа начинающих программистов, вождение, курсы повара и многое другое)
5) Подготовка к ВУЗу (элективные курсы, факультативы, центр довузовской подготовки)
6) Школьные кружки (швейный кружок, круг любителей животных, кружок экологов и т.д.)
7) Питание (хорошее питание, столовая, буфет).
После иерархического изображения проблемы возникает вопрос: как установить приоритеты критериев и оценить каждую из альтернатив по критериям, выявив самую важную из них. Когда проблема представлена иерархически составляется матрица для сравнения относительной важности критериев на втором уровне к общей цене на первом. Составим матрицу попарных сравнений для 2 уровня.
Метод анализа иерархии Саати
Целью построений является получение приоритетов элементов на последнем уровне, наилучшим образом отражающих относительное воздействие на вершину иерархии.
После иерархического или сетевого воспроизведения проблемы возникает вопрос: как установить приоритеты критериев и оценить каждую из альтернатив по критериям, выявив самую важную из них?
В МАИ элементы задачи сравниваются попарно по отношению к их взаимодействию на общую для них характеристику. Когда проблемы представлены иерархически, составляется матрица для сравнения относительной важности критериев на втором уровне по отношению к общей цели на первом уровне. Подобные матрицы должны быть построены для парных сравнений каждой альтернативы на третьем уровне по отношению к критериям второго уровня.
Для проведения субъективных парных суждений разработана шкала. Эта шкала оказалась эффективной не только во многих приложениях, ей правомочность доказана теоретически при сравнении со многими другими шкалами.
Шкала относительной важности
| Интенсивность относительной важности | Определение | Объяснение |
| Равная важность | Равный вклад двух видов деятельности в цель | |
| Умеренное превосходство одного над другим | Опыт и суждения дают легкое превосходство одному виду деятельности над другим | |
| Существенное или сильное превосходство | Опыт и суждения дают сильное превосходство одному виду деятельности вал другим | |
| Значительно превосходство | Одному виду деятельности дается настолько сильное превосходство, что оно становится практически значительным | |
| Очень сильное превосходство | Очевидность превосходства одного вида деятельности над другим подтверждается наиболее сильно | |
| 2, 4, 6, 8 | Промежуточные решения между двумя соседними суждениями | Применяются в компромиссном случае |
| Обратные величины, приведенных выше чисел | Если при сравнении одного вида деятельности с другим получено одно из вышеуказанных чисел (например 3). то при сравнении второго вида деятельности с первым получим обратную величину (т е. 1/3) |
Для заполнения матриц по критериям для школ А, Б, В дадим их характеристики:
Теперь перейдем к парным сравнениям элементов на нижнем уровне. Сравниваемые попарно элементы - это возможные варианты выбора места отдыха. Получаем семь матриц суждений размерностью 3X3, поскольку имеется семь критериев на втором уровне и три дома, которые попарно сравниваются по каждому из критериев. Матрицы вновь содержат суждения студентки. Для того чтобы понять суждения, дадим краткое описание мест отдыха.
Для выявления меры удовлетворения кандидата школой сначала следует перечислить важнейшие критерии, характеризующие школы, и вычислить сравнительную желательность этих критериев для кандидата. Желательность будет меняться от одного кандидата к другому.
Школа А – эта школа для получения качественного образования и хорошей подготовки для поступления в высшее учебное заведение. В школе существует 5 классов с различным уклоном. Меню в столовой предполагает двухразовое питание учащихся. В школе множество различных кружков и секций, что создает в школе дружескую атмосферу и возможность проявить свои таланты в творчестве и спорте.
Школа Б – эта школа активно участвует во всех общественных делах, проводит мероприятия в рамках города. Есть столовая. В этой школе 2 класса с уклонами. Есть кружок экологов. Средняя подготовка к ВУЗу. Нет возможности получить дополнительное образование.
Школа В – эта обычная школа, где можно получить среднее образования, по окончании которого выдается аттестат. Школа участвуют во всех проводимых мероприятиях. Есть столовая. Созданы условия, чтобы классы были дружными. В данной школе нет профильного разделения и все классы универсальные.
Индекс согласованности для каждой матрицы и для всей иерархии можно приближенно вычислить следующим образом:
1) Сначала суммируется каждый столбец суждений.
2) Сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов.
3) Полученные числа суммируются.
Таким образом, получим величину λ max . Для индекса согласованности имеем формулу ИС = , где n - число сравниваемых элементов.
Запишем таблицу средних значений согласованности для случайных матриц разного порядка:
Из группы матриц парных сравнений формируем набор локальных приоритетов, которые выражают относительные влияние множества элементов. Каждая из этих матриц обладает свойством обратной симметричности. Для каждой матрицы необходимо вычислить собственные вектора. Затем нормализовать их к единице, тем самым будет получен вектор приоритетов.
Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для каждой матрицы:
1) Для первой матрицы УЧЁБА мы нашли:
| Учёба | А | Б | В | Вектор | Ср.геом. | λ | ИС: | ОС: |
| А | 0,6370 | 2,4662 | 3,0385 | 0,0193 | 0,0332 | |||
| Б | 1/3 | 0,2583 | 1,0000 | |||||
| В | 1/5 | 1/3 | 0,1047 | 0,4055 | ||||
| Cумма S: | 1,5333 | 4,3333 | 9,0000 | 1,0000 | 3,8717 |
Среднее геометрическое находится по формуле:
А: a= = =2,4662
Б: = =1
В: c = = =0,4055
S(cр.геом.)= a+b+c =2,4662+1+0,4055=3,8717
Вектор находится по формуле:
х1 =a/S=2,4662/3,8717=0,6370
x2=b/S=1/3,8717=0,2583
x3=c/S=0,4055/3,8717=0,1047
1 .
Проверим:
х1+ х2+ х3=0,6370+0,2583+0,1047=1
Чтобы найти λ, нужно сумму столбца А умножить на соответствующий вектор А, сумму столбца Б умножить на соответствующий вектор Б и сумму столбца В умножить на с вектор В:
λ=1,5333* 0,6370+4,3333* 0,2583+0,1047*9=3,0385
ИС = = = =0,0193
n =3- число сравниваемых элементов
ОС = = =0,0332=3%
Чтобы найти случайную согласованность, нужно воспользоваться таблицей. Случайная согласованность, для n=3 равна 0,58.
Остальные матрицы вычисляются аналогично первой матрице.
2) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы для второй матрицы ДРУЗЬЯ :
| Друзья | А | Б | В | Вектор | Ср.геом. | λ | ИС: | ОС: |
| А | 0,7450 | 3,3019 | 3,0536 | 0,0268 | 0,0462 | |||
| Б | 1/6 | 0,1564 | 0,6934 | |||||
| В | 1/6 | 1/2 | 0,0986 | 0,4368 | ||||
| Cумма S: | 1,3333 | 7,5000 | 9,0000 | 1,0000 | 4,4321 |
λ= 3,0536
3) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицыШКОЛЬНАЯ ЖИЗНЬ:
| Школьная жизнь | А | Б | В | Вектор | Ср.геом. | λ | ИС: | ОС: |
| А | 1/3 | 0,2906 | 1,1006 | 3,1356 | 0,0678 | 0,1169 | ||
| Б | 0,6046 | 2,2894 | ||||||
| В | 1/4 | 1/4 | 0,1048 | 0,3969 | ||||
| Cумма S: | 4,2500 | 1,5833 | 9,0000 | 1,0000 | 3,7869 |
λ= 3,1356
4) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ:
| Дополни- тельное обучение | А | Б | В | Вектор | Ср.геом. | λ | ИС: | ОС: |
| А | 0,7504 | 3,4760 | 3,0999 | 0,0500 | 0,0861 | |||
| Б | 1/7 | 1/3 | 0,0782 | 0,3625 | ||||
| В | 1/6 | 0,1713 | 0,7937 | |||||
| Cумма S: | 1,3095 | 11,0000 | 7,3333 | 1,0000 | 4,6322 |
λ= 3,0999
5) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы ПОДГОТОВКА К ВУЗу:
| Подготовка к ВУЗу | А | Б | В | Вектор | Ср.геом. | λ | ИС: | ОС: |
| А | 0,0953 | 0,3816 | 3,0183 | 0,0091 | 0,0158 | |||
| Б | 1/3 | 0,2499 | 1,0000 | |||||
| В | 1/6 | 1/3 | 0,6548 | 2,6207 | ||||
| Cумма S: | 10,000 | 4,333 | 1,500 | 1,000 | 4,002 |
λ= 3,0183
6) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы ПИТАНИЕ:
| Питание | А | Б | В | Вектор | Ср.геом. | λ | ИС: | ОС: |
| А | 0,7396 | 3,2711 | 3,0142 | 0,0071 | 0,0122 | |||
| Б | 1/5 | 0,1666 | 0,7368 | |||||
| В | 1/7 | 1/2 | 0,0938 | 0,4149 | ||||
| Cумма S: | 1,3429 | 6,5000 | 10,0000 | 1,0000 | 4,4228 |
λ= 3,0142
7) Находим среднее геометрическое, вектор, индекс согласованности, ОС и λ для матрицы ШКОЛЬНЫЕ КРУЖКИ:
| Школьные кружки | А | Б | В | Вектор | Ср.геом. | λ | ИС: | ОС: |
| А | 0,6738 | 2,7144 | 3,0858 | 0,0429 | 0,0739 | |||
| Б | 1/5 | 1/3 | 0,1007 | 0,4055 | ||||
| В | 1/4 | 0,2255 | 0,9086 | |||||
| Cумма S: | 1,4500 | 9,0000 | 5,3333 | 1,0000 | 4,0285 |
λ= 3,0858
И найдем результаты для последней матрицы n=7
λ= 7,8108
ИС=(7,8108-7)/6=0,1351
ОС=0,1351/1,32=0,1023=10%
Среднее геометрическое находится по формуле в Excel ->функция
f(x)->СРГЕОМ, выделяем каждую строку матрицы и задаем эту функцию, получится результат:
a+b+c+d+e+f+g=9,71
Вектор находится по формуле:
В сумме векторов должна получиться 1 .
n =7- число сравниваемых элементов
CC находим по таблице случайной согласованности, где для n=7 СС=1,32.
Явным лидером по критерию учеба являетсяшкола А .
По критериюшкольная жизнь превосходит остальные учебные заведения школа Б.
Школа В – обычная школа, во многом уступающая от школ А и Б.
Следующим этапом является применение принципа синтеза. Для определения главных приоритетов в матрице локальные приоритеты располагаются по отношению к каждому критерию. Каждый столбец векторов умножается на приоритет соответствующего критерия, и результат складывается вдоль каждой строки.
| ШКОЛА | Учёба | Друзья | Школь-ная жизнь | Профес-сиональное обучение | Подго- товка к ВУЗу | Школьные кружки | Пита-ние |
| 0,4495 | 0,179 | 0,1288 | 0,0693 | 0,0823 | 0,0453 | 0,0458 | |
| А | 0,637 | 0,745 | 0,2906 | 0,7504 | 0,0953 | 0,6738 | 0,7396 |
| Б | 0,2583 | 0,1564 | 0,6046 | 0,0782 | 0,2499 | 0,1007 | 0,1666 |
| В | 0,1047 | 0,0986 | 0,1048 | 0,1713 | 0,6548 | 0,2255 | 0,0938 |
Для школы А имеем : 0,4495*0,637+0,745*0,179+0,2906*0,1288+ +0,7504*0,0693+0,0953*0,0823+0,6738*0,0453+0,7396*0,0458=0,578
Для школы Б имеем : 0,4495*0,2583+0,1564*0,179+0,6046*0,1288+ +0,0782*0,0693+0,2499*0,0823+0,1007*0,0453+0,1666*0,0458=0,262
Для школы В имеем: 0,4495*0,1047+0,0986*0,179+0,1048*0,1288+ +0,1713*0,0693+0,6548*0,0823+0,2255*0,0453+0,0938*0,0458=0,161
Проанализировав данные 3 школ, пришли к выводу, что наиболее перспективной школой для ученика 10 класса является школа А, т.к. эта школа является образцовым для получения качественного образования и хорошей подготовки для поступления в высшее учебное заведение, чем школы Б и В. Хотя школа
Школа А, которая была наименее желательна с точки зрения школьной жизни, оказалась победителем. Именно туда ученик 10 класса и пойдет учиться.
При анализе можно убедиться, что исход не был удивительным, если принять во внимание тот факт, что Школа А превосходила остальные школы по пяти из семи критериев.
Заключение
Конечно, есть моменты, когда могут действовать политические пристрастия, скрытые «домашние заготовки», раскол и другие мотивы. В этом случае взаимодействие и сотрудничество в группе затрудняются. Мы сталкивались с такими проблемами на практике при использовании метода анализа иерархии (МАИ). Наше заключение таково, что МАИ является мощным средством для тех, кто хочет оценить как свои стратегии, так и стратегии своих оппонентов. Тех, кто не желает участвовать в процессе, нельзя заставить, однако их иногда можно убедить. Процесс движется быстрее, если участники имеют общие цели, долговременный близкий контакт, работу в климате социального одобрения и одинаковый статус.
Последним замечанием является то, что взаимодействие не похоже на брак, о котором люди склонны иметь романтические представления, однако после вступления в него они сталкиваются с множеством трений, ссор и разногласий. Тем не менее, в общем, жизнь продолжается, и имеются фундаментальные точки согласия и общие потребности, которые удерживают людей друг с другом. Поэтому входить в процесс группового взаимодействия никто не должен со слишком большими надеждами и сильным предрасположением к правильности и порядку.
Метод анализа иерархий успешно применялся во многих областях, в частности: при разработке плана распределения энергии в промышленности или проектировании транспортной системы для Судана, в планировании будущего корпорации и измерении факторов окружающей среды на ее развитие; при построении сценариев высшего образования в США; при выдвижении кандидатов и в процессах выборов.
К сильным сторонам МАИ можно отнести то, что при определении иерархии обычно важную роль также играют знания лиц, производящих суждения для парных сравнений.
Оказалось, что использование МАИ стимулировало повышение уровня знаний о специфических проблемах планирования даже среди людей, которые имеют достаточно обширные познания и опыт в данной конкретной ситуации. Более того, проблема еще больше раскрывается, и накапливаются дополнительные знания.
Подход к измерениям с помощью МАИ допускает определенную степень несогласованности. Группа людей может принять решение при допустимой степени несогласованности для каждого из членов группы. В этом случае они не будут чувствовать, что их предпочтения были в значительной степени нарушены.
Метод анализа иерархий основан на следующих аксиомах: парных сравнений, обоснованной шкалы для перевода суждений в числа с помощью парных сравнений и обратносимметричных отношений, гомогенной кластеризации иерархических уровней, иерархической композиции путем взвешивания и сложения и, наконец, на аксиоме ожидании, которая отражает соответствие заложенных в иерархию элементов ожидаемым результатам. Из этих аксиом получено несколько теорем, которые превращают МАИ в математически обоснованный подход для получения шкал отношений при решении сложных проблем.
Список литературы
1. Саати Т., Керис К. Аналитическое планирование. Организация систем: Пер. с англ – М. Радио и связь, 1991 – 224 с: ил. – ISBN 5-256-0038-1
2. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993 – 278 c.