Класс последовательностей конечной длины (КИХ-последовательности) обладает некоторыми свойствами, желательными с точки зрения построения фильтров. Например, никогда не возникает вопрос об устойчивости и физической реализуемости фильтров, поскольку КИХ-последовательности гарантируют устойчивость. Более того, КИХ-последовательности можно выбрать так, чтобы фильтры имели строго линейные фазовые характеристики. Поэтому, используя КИХ-последовательности, можно проектировать фильтры с произвольной амплитудной характеристикой.
Существуют три основных метода синтеза КИХ-фильтров:
метод взвешивания (метод «окна»);
метод частотной выборки;
метод оптимальных фильтров.
Свойства КИХ-фильтров
Имеется много причин, побуждающих к изучению способов проектирования КИХ-фильтров. Основными достоинствами этих фильтров являются:
1. Легко создавать КИХ-фильтры со строго линейной фазовой характеристикой (постоянной групповой задержкой). Во многих случаях, когда проектируется фильтр с произвольной амплитудной характеристикой, это упрощает задачу аппроксимации.
2. КИХ-фильтры, реализуемые нерекурсивно, т.е. с помощью свертки, всегда устойчивы.
3. При нерекурсивной реализации КИХ-фильтров шумы округления, возникающие за счет выполнения арифметических операций с конечной точностью, легко минимизировать.
4. КИХ-фильтры можно эффективно реализовывать при помощи методов быстрой свертки, основанных на применении алгоритма БПФ.
Недостатки КИХ-фильтров следующие:
1. Для аппроксимации фильтров, частотные характеристики которых имеют острые срезы, требуется импульсная характеристика с большим числом отсчетов N . Следовательно, возрастает объем вычислительных операций.
2. Задержка в КИХ-фильтрах с линейной фазовой характеристикой не всегда равна целому числу интервалов дискретизации.
Характеристики КИХ-фильтров с линейной фазовой характеристикой
Пусть {h(n) } – физически реализуемая последовательность конечной длины, заданная на интервале. Ееz-преобразование равно
. (3.1)
Преобразование Фурье от {h(n) }
(3.2)
является
периодическим по частоте с периодом
,
т.е.
Рассматривая
только действительные последовательности
{h(n)
}, получим дополнительные
ограничения на функцию
,
представив ее через амплитуду и фазу:
. (3.4)
Потребуем
при расчете КИХ-фильтров строго линейной
фазовой характеристики, и рассмотрим,
при каких условиях импульсная
характеристика фильтра h(n)
будет это обеспечивать. Требование
линейности фазовой характеристики
имеет вид
где
- постоянная фазовая задержка, выраженная
через число интервалов дискретизации.
Используя (3.4) и (3.5) соотношение (3.2)
переписывается в виде:
. (3.6)
Приравнивая действительные и мнимые части, и деля друг на друга правые и левые части полученных равенств, можно получить уравнение, решением которого будут следующие значения:
, (3.7)
Смысл
их заключается в следующем. Условие
(3.7) означает, что для каждого N
существует только одна фазовая задержка
,
при которой может достигаться строгая
линейность фазовой характеристики
фильтра. Из условия (3.8) следует, что при
заданном
,
удовлетворяющем условию (3.7), импульсная
характеристика должна обладать
симметрией.
Рассмотрим использование условий (3.7) и (3.8) для случаев четного и нечетногоN . ЕслиN - нечетно, то задержка в фильтре равна целому числу интервалов дискретизации. Типичная импульсная характеристика фильтра с линейной фазой для случаяN =11 приведена на рис. 3.1. Типичная импульсная характеристика фильтра с линейной фазой при четномN показана на рис. 3.2. ЗдесьN =10.
Рис.3.1 . N – нечетно.
Рис.3.2. N – четно.
Расчет КИХ-фильтров методом взвешивания
Как было сказано ранее, частотную характеристику любого цифрового фильтра можно представить рядом Фурье:
, (3.9)
. (3.10)
Видно,
что коэффициенты Фурье совпадают с
коэффициентами импульсной характеристики
цифрового фильтра. Использование этих
соотношений для проектирования
КИХ-фильтра связано с двумя трудностями.
Во-первых, импульсная характеристика
фильтра имеет бесконечную длину,
поскольку суммирование в (3.9) производится
в бесконечных пределах. Во-вторых, фильтр
физически нереализуем, так как импульсная
характеристика начинается в
,
т.е. никакая конечная задержка не сделает
фильтр физически реализуемым.
Один
из возможных методов получения
КИХ-фильтра, аппроксимирующего заданную
функцию
,
заключается в усечении бесконечного
ряда Фурье (3.9) за
.
Однако простое усечение ряда приводит
к явлению Гиббса, которое проявляется
в виде выбросов и пульсаций до и после
точек разрыва в аппроксимируемой
частотной характеристики. Причем,
максимальная амплитуда пульсаций
частотной характеристики не уменьшается
с увеличением длины импульсной
характеристики, т.е. учет все большего
числа членов ряда Фурье не приводит к
уменьшению максимальной амплитуды
пульсаций. Вместо этого уменьшается
ширина выброса. Поэтому простое усечение
ряда Фурье (3.9) не приводит к приемлемой
аппроксимации идеального фильтра нижних
частот (к чему необходимо стремиться).
Этот метод непригоден для проектирования
КИХ-фильтров.
Лучшие
результаты дает метод, основанный на
использовании весовой последовательности
конечной длины w(n)
,
называемой окном, для модификации
коэффициентов Фурье в формуле (3.9) с тем,
чтобы управлять сходимостью ряда Фурье.
Для большинства приемлемых окон
преобразование Фурье 
последовательностиw(n)
имеет главный лепесток, содержащий
почти всю энергию окна, и боковые
лепестки, которые обычно быстро затухают.
Чтобы получить КИХ-аппроксимацию функции
,
формируется последовательность
,
равная нулю за пределами интервала
.
Поскольку результирующая характеристика
фильтра равна свертке идеальной частотной
характеристики и частотной характеристика
окна, то ширина переходных полос зависит
от ширины главного лепестка функции
.
Кроме того, на всех частотах
возникают ошибки аппроксимации, имеющие
вид пульсаций частотной характеристики,
которые обусловлены боковыми лепестками
функции
.
Из приведенного выше следует, что оптимальное окно должно иметь во-первых, минимальную ширину главного лепестка частотной характеристики, во-вторых, минимальную площадь под боковыми лепестками. К сожалению, эти два требования несовместимы и необходим компромиссный вариант.
Прямоугольное окно
N -точечное прямоугольное окно, соответствующее простому усечению ряда Фурье, описывается весовой функцией
(3.11)
Частотная характеристика прямоугольного окна описывается соотношением
. (3.12)
Ее график представлен на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Частотная характеристика прямоугольного окна (N =25).
«Обобщенное» окно Хэмминга
Обобщенное окно Хэмминга имеет вид
(3.13)
причем
.
Случай
соответствует
окну Ханна (hanning), случай
-
окну Хэмминга. Частотную характеристику
этого окна можно выразить через частотную
характеристику прямоугольного окна
(рис. 3.4):
Рис.3.4.
Частотная характеристика окна Хэмминга
.
Окно Кайзера
Задача расчета хороших окон фактически сводится к математической задаче отыскания ограниченных во времени функций, преобразования Фурье которых наилучшим образом аппроксимируют функции, ограниченные по частоте, т.е. имеют минимальную энергию за пределами заданного интервала частот. Одним из решений такой задачи является окно Кайзера:
где
-
константа, определяющая компромисс
между максимальным уровнем боковых
лепестков и шириной главного лепестка
частотной характеристики окна, а
- функция Бесселя нулевого порядка. Окно
Кайзера является по существу оптимальным
окном в том смысле, что оно представляет
последовательность конечной длины,
которая имеет минимум энергии спектра
за пределами некоторой заданной частоты.
Прочие окна
Существует еще много различных окон. Вот некоторые из них.
Окно Блэкмана:
Окно Фейера (треугольное окно):
Окно Ланцоша:
, (3.18)
где L – положительное целое число.
Последние два окна основываются на методах суммирования рядов Фурье для ускорения их сходимости. Так же существуют окна, полученные согласно некоторым критериям оптимальности (окна Долфи-Чебышева, окно Каппелини, и т.д.).
Особенности использования метода взвешивания
Метод взвешивания весьма удобен для проектирования КИХ-фильтров, однако он обладает некоторыми особенностями, которые могут препятствовать применению окон. Прежде всего необходимо иметь выражения для коэффициентов ряда Фурье:
. (3.19)
Когда
характеристика
имеет сложный вид или не может быть
просто преобразована в математическое
выражение, формула (3.19) может оказаться
громоздкой и неудобной для интегрирования.
Еще одна особенность метода взвешивания заключается в отсутствии достаточной гибкости при проектировании фильтров. Например, при расчете ФНЧ обычно трудно определить граничную частоту полосы пропускания, поскольку окно «размывает» разрыв идеальной характеристики.
Вышеупомянутые ограничения метода взвешивания не препятствуют его широкому применению.
Чтобы определить невзвешенные коэффициенты Фурье в том случае, когда аналитическое выражение для h(n) громоздко или неудобно для интегрирования, интеграл можно аппроксимировать суммой по следующей формуле
. (3.20)
Ясно,
что значения (3.20) можно эффективно
вычислять с помощью M
-точечного
ОДПФ последовательности
.
Поскольку формула (3.20) является дискретным
аналогом формулы (3.19), легко показать,
что ростомM
различие
междуh(n)
и
уменьшается.
Расчет КИХ-фильтров методом частотной выборки
КИХ-фильтр может быть однозначно задан коэффициентами импульсной характеристики {h(n) }, так и коэффициентами ДПФ частотной характеристики{H(k) }.Обе последовательности связаны соотношениями:
ДПФ, (3.21)
ОДПФ. (3.22)
Из формулы (3.22) сразу вытекает прямой способ получения импульсной характеристики фильтра. Такой фильтр имеет частотную характеристику, значения которой равны H(k) вN равноотстоящих на оси частот точках.
К сожалению, эта прямая процедура не представляет практического интереса, так как невозможно предсказать поведение частотной характеристики между частотными выборками.
Для того, чтобы получить фильтры с
линейной фазой, частотные выборки должны
быть симметричными по амплитуде и иметь
линейную антисимметричную фазу в
интервале
.
Учитывая то, что будет использоваться
ОДПФ, удобнее выразить условия симметрии
на интервале
.
Ели частотные выборки записаны в виде
,
то условия симметрии при нечетномN
можно записать в виде
(3.23)
Для улучшения качества аппроксимации часть частотных отсчетов имеет смысл сделать независимыми переменными. Значения этих независимых переменных обычно рассчитывают методами оптимизации, таким образом, чтобы минимизировать некоторую простую функцию ошибки аппроксимации.
Можно сформулировать основную идею метода частотной выборки. Искомую частотную характеристику можно аппроксимировать ее отсчетами, взятыми в N равноотстоящих точках, а затем путем интерполяции получить результирующую частотную характеристику, которая будет проходить через исходные отсчеты. Ошибка интерполяции для фильтров с достаточно гладкими частотными характеристиками обычно имеет небольшую величину. В случае селективных фильтров частотные отсчеты в переходных полосах остаются незаданными переменными, значения которых подбираются с помощью алгоритма оптимизации. Для выполнения необходимой минимизации можно использовать простые методы линейного программирования.
Проектирование оптимальных фильтров
Смысл слова оптимальный заключается в следующем: оптимальными являются те фильтры, для которых максимальная ошибка в полосе пропускания и (или) в полосе задерживания минимальна по сравнению с любыми другими фильтрами, которые можно получить, изменяя значения n выборок в переходной полосе.
Рассмотрим подход к расчету КИХ-фильтров при котором минимизируется максимальная ошибка аппроксимации.
Пусть
- заданная (желаемая) частотная
характеристика,
- аппроксимирующая функция,
- положительная весовая функция,
позволяющая определять ошибки для
различных интервалов. Тогда взвешенная
ошибка аппроксимации
по определению равна
Задачу
чебышевской аппроксимации можно
сформулировать как задачу поиска
(а точнее коэффициентов, через которые
можно выразить
),
которая минимизирует максимум модуля
ошибки
в тех частотных полосах, где выполняется
аппроксимация:
где A – совокупность всех интересующих частотных полос.
Определения Фильтр – устройство, предназначенное для изменения спектра входного сигнала соответствующим образом. Назначение – улучшение качества сигнала, выделение информационной составляющей, разделение сигнала на компоненты. Цифровой фильтр – математический алгоритм, реализуемый с помощью аппаратных и/или программных средств и предназначенный для получения выходного цифрового сигнала с требуемыми характеристиками из входного цифрового сигнала.
Характеристики фильтра Если параметры фильтра не изменяются во времени, такой фильтр называется независящим от времени (инвариантным). Это означает, что реакцией на задержанный во времени входной сигнал x(n-m) будет такой-же выходной сигнал y(n-m), задержанный на m отсчетов. Что это означает?
Характеристики фильтра Основными характеристиками фильтра являются его амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) и фазо- частотная характеристика (ФЧХ). Они называются статическими характеристиками. К динамическим характеристикам фильтра относятся: время нарастания, время установления и амплитуда перерегулирования.
Особенности КИХ-фильтра Коэффициенты КИХ-фильтра являются отсчетами его импульсной характеристики h(n). КИХ-фильтр всегда стабилен, т.к. он не имеет ветви обратной связи. Это означает, что для ограниченного по амплитуде входного сигнала на выходе фильтра будет сформирован ограниченный по амплитуде выходной сигнал. Для реализации КИХ-фильтра понадобится конечное число ячеек памяти. Ошибка округления такого фильтра невелика. Легко реализуем. ФЧХ КИХ-фильтра всегда линейна. Какой недостаток КИХ-фильтров?
Типы фильтров Частоты, проходящие через фильтр без изменения амплитуды, составляют полосу пропускания фильтра. Частоты, которые отсекаются фильтром, составляют полосу подавления фильтра. Точка перехода от полосы пропускания к полосе подавления называется частотой среза. В зависимости от вида АЧХ, все фильтры разделяются на четыре типа: - фильтры низких частот (ФНЧ); - фильтры высоких частот (ФВЧ); - полосовые фильтры (ПФ); - режекторные (заграждающие) фильтры (РФ).
АЧХ реального фильтра Амплитудные искажения в полосе пропускания и полосе подавления. Наличие переходной полосы. w P – граничная частота полосы пропускания. w S – граничная частота полосы подавления. Коэффициент передачи в полосе пропускания: Коэффициент передачи в полосе подавления:
Фазовая характеристика фильтра Характеризует временную задержку прохождения различных частотных составляющих через фильтр. Фазовая задержка многочастотного сигнала определяется как среднее арифметическое фазовых задержек каждой спектральной составляющей сигнала. Групповая задержка определяется выражением: где φ(w) – фазовая характеристика фильтра. Свойство линейности фазовой характеристики определяется как: Групповая задержка фильтра с линейной фазовой характеристикой – постоянная величина.
Линейная свертка Реакция фильтра определяется операцией линейной свертки его импульсной характеристики со входным сигналом. Операция свертки записывается так: Если входной сигнал представлен М отсчетами, а импульсная характеристика фильтра имеет L коэффициентов, то выходной сигнал фильтра будет содержать L+M-1 отсчет.
Каскадная форма представления фильтра Передаточную характеристику фильтра можно представить в несколько ином виде: что позволит представить структуру фильтра в виде последовательно соединенных каскадов. Пример – реализация сложного фильтра, состоящего из нескольких каскадов фильтров второго порядка:
Введение
Цифровой фильтр (ЦФ) - устройство, пропускающее, либо подавляющее заданные в цифровой форме сигналы в определенной полосе частот. В отличие от аналоговых фильтров, у которых входной сигнал изменяется непрерывно, в цифровых фильтрах входной сигнал представляется в дискретной форме, т. е. принимает каждый раз новое значение через интервал дискретизации. Величина, обратная этому интервалу, - частота дискретизации.
Фильтры частотной селекции - это устройства, пропускающие или подавляющие частоты определенного диапазона в составе спектра входного сигнала.
Существует четыре основных типа фильтров частотной селекции: низкочастотный, высокочастотный, полосовой и режекторный.
Цифровой фильтр частотной селекции - это наиболее известный, хорошо изученный и апробированный на практике тип ЦФ.
Выделяют два основных вида ЦФ - фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры) и с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры).
КИХ-фильтры обладают некоторыми свойствами, желательными с точки зрения построения фильтров. Например, никогда не возникает вопрос об устойчивости и физической реализуемости фильтров, поскольку КИХ-последовательности гарантируют устойчивость, а при введении соответствующей конечной задержки и реализуемость. Более того, КИХ-последовательности можно выбрать так, чтобы фильтры имели строго линейные фазовые характеристики. Поэтому, используя КИХ-последовательности, можно проектировать фильтры с произвольной амплитудной характеристикой.
В данной работе будет рассмотрено проектирование цифровых КИХ-фильтров с помощью метода частотной выборки.
Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры)
цифровой фильтр процессор
Термином цифровой фильтр называют аппаратную или программную реализацию математического алгоритма, входом которого является цифровой сигнал, а выходом - другой цифровой сигнал, форма которого и амплитудная и фазовая характеристики сильно модифицированы. Во многих приложениях цифровые фильтры предпочтительнее аналоговых, поскольку они позволяют более точно воплотить амплитудные и фазовые спецификации. Кроме того, для цифровых фильтров нехарактерно присущее аналоговым фильтрам изменение характеристик в зависимости от температуры и напряжения.
Цифровой фильтр можно представить некоторым функциональным блоком, на вход которого поступает входной сигнал x(n) в виде последовательности числовых отсчетов, а с выхода снимаются числовые отсчеты выходного сигнала y(n).
Порядок расчета цифрового фильтра включает четыре основных этапа:
1. Определение требуемых свойств фильтра. На данном этапе задается тип фильтра (ФНЧ, ФВЧ), нужная амплитудная или фазовая характеристика и разрешенные допуски, частота дискретизации и длина слов, которыми будут представлены входные данные.
2. Вычисление коэффициентов. На этом этапе определяются коэффициенты передаточной функции H(z) , которая удовлетворяет заданным свойствам фильтра.
3. Выбор структуры. Данный этап включает преобразование передаточной функции, полученной на предыдущем этапе, в подходящую фильтрующую структуру.
4. Проверка моделированием, удовлетворяет ли полученный фильтр заданным требованиям.
Для того чтобы реализовать цифровой фильтр, необходимо знать его частотную характеристику, передаточную функцию, а для фильтров с конечной импульсной характеристикой достаточно знания отсчетов импульсной характеристики h(n), так как каждый отсчет выходного сигнала может быть вычислен как результат свертки входного сигнала с импульсной характеристикой:
где N - порядок фильтра (длина импульсной характеристики).
Желательно иметь минимальное N, при котором еще удовлетворяются требования к частотной характеристике фильтра. Тогда для реализации фильтра потребуется меньшая вычислительная мощность, т.е. будут меньше затраты времени и памяти.
Существует два основных вида цифровых фильтров: фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры) и с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры).
Цифровые КИХ_фильтры обладают рядом достоинств по сравнению с цифровыми фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ_фильтры). Они всегда устойчивы, менее чувствительны к точности представления числовых параметров фильтра и, главное, могут быть спроектированы таким образом, что их фазочастотная характеристика будет строго линейной, что обычно бывает желательно, а иногда необходимо. Недостатком КИХ_фильтров является то, что для получения частотных характеристик с крутыми перепадами между областями пропускания и задерживания требуются фильтры высоких порядков, т.е. с длинной импульсной характеристикой.
Рассмотрим основные характеристики КИХ-фильтров.
Амплитудно-частотная характеристика КИХ-фильтра часто задается в виде схемы допусков. Такая схема для фильтра нижних частот показана на рисунке. Подобную схему можно получить и для других частотно-избирательных фильтров.
Основные параметры:
дp - отклонение в полосе пропускания (или неравномерность);
дs - отклонение в полосе подавления;
fp - граничная частота полосы пропускания;
fs - граничная частота полосы подавления;
Fs - частота дискретизации.
На практике удобнее выражать дp и дs в децибелах. Расстояние между fs и fp равно ширине полосы перехода фильтра. Другой важный параметр - длина фильтра N , которая определяет число коэффициентов фильтра. В большинстве случаев указанные параметры полностью определяют частотную характеристику КИХ-фильтра.
Линейная фазовая характеристика КИХ-фильтра.
Пусть {h (n)} -- физически реализуемая последовательность конечной длины, заданная на интервале 0. Ее z-преобразование равно:
Преобразование Фурье от {h (n)}:
является периодическим по частоте с периодом 2р.
Из уравнения (3) видно, что модуль преобразования Фурье является симметричной функцией, а фаза --антисимметричной функцией частоты, т.е.
На практике при расчете КИХ-фильтров часто требуется строго линейная фазовая характеристика. При этом фазовая характеристика и(щ) имеет вид:
где б -- постоянная фазовая задержка, выраженная через число интервалов дискретизации.
Условие (7) означает, что для каждого N существует только одна фазовая задержка б, при которой может достигаться строгая линейность фазовой характеристики фильтра. Из условия (8) следует, что при заданном б, удовлетворяющем условию (7), импульсная характеристика должна обладать вполне определенной симметрией.
В зависимости от значения N (нечетные или четные) и вида симметрии импульсной характеристики (симметричная или антисимметричная характеристика) возможны четыре различных вида КИХ-фильтров с линейными фазовыми характеристиками.
Таблица1. Различие четырех типов КИХ-фильтров с линейной фазовой характеристикой
Материал из Модулярная арифметики
Фильтр с конечной импульсной характеристикой (Нерекурсивный фильтр , КИХ-фильтр ) или FIR-фильтр (FIR сокр. от finite impulse response - конечная импульсная характеристика) - один из видов линейных цифровых фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени она становится точно равной нулю). Такой фильтр называют ещё нерекурсивным из-за отсутствия обратной связи. Знаменатель передаточной функции такого фильтра - некая константа.
Динамические характеристики
Разностное уравнение, описывающее связь между входным и выходным сигналами фильтра: где - порядок фильтра, - входной сигнал, - выходной сигнал, а - коэффициенты фильтра. Иными словами, значение любого отсчета выходного сигнала определяется суммой масштабированных значений предыдущих отсчетов. Можно сказать иначе: значение выхода фильтра в любой момент времени есть значение отклика на мгновенное значение входа и сумма всех постепенно затухающих откликов предыдущих отсчетов сигнала, которые всё ещё оказывают влияние на выход (после -отсчетов импульсная переходная функция становится равной нулю, как уже было сказано, поэтому все члены после -го тоже станут равными нулю). Запишем предыдущее уравнение в более ёмком виде:
Для того, чтобы найти ядро фильтра положим
где - дельта-функция. Тогда импульсная характеристика КИХ-фильтра может быть записана как:
Z-преобразование импульсной характеристики даёт нам передаточную функцию КИХ-фильтра:
Свойства
КИХ-фильтр обладает рядом полезных свойств, из-за которых он иногда более предпочтителен в использовании, чем БИХ-фильтр. Вот некоторые из них:
- КИХ-фильтры устойчивы.
- КИХ-фильтры при реализации не требуют наличия обратной связи.
- Фаза КИХ-фильтров может быть сделана линейной
Прямая форма КИХ фильтра
КИХ фильтры могут быть реализованы с использованием трех элементов: умножитель, сумматор и блок задержки. Вариант, показанный на рисунке, есть прямая реализация КИХ-фильтров типа 1.
Пример программ
Построение КИХ-фильтров
Построение КИХ-фильтров заключается в выборе коэффициентов фильтра таким образом, чтобы полученная система имела требуемые характеристики. Чаще всего фильтр строят по заданной амплитудно-частотной характеристике. Существуют разные методы построения КИХ-фильтров:
Программные пакеты такие как MATLAB, GNU Octave, Scilab, и SciPy реализуют описанные выше методы.
Некоторые спецификации на фильтр представляют собой форму входного сигнала во временной области, которую фильтр должен "распознавать". Оптимальный согласованный фильтр для выделения сигнала любой формы из белого шума получается путём дискретизации требуемой формы сигнала и использования полученных коэффициентов в обратном порядке в качестве коэффициентов фильтра - импульсная характеристика полученного фильтра является зеркальным отражением по времени требуемой формы входного сигнала.
Построение методом окна
В данном методе сначала строится идеальный БИХ-фильтр, затем к нему применяется Функция окна – во временной области, умножением бесконечной импульсной характеристики на функцию окна. Затем выполняется свёртка полученного результата с откликом на функцию окна. Если идеальная АЧХ достаточно проста, например, как прямоугольный отклик, результат свёртки можно сравнительно легко определить. На самом деле обычно сначала определяют требуемый результат и решают обратную задачу определения подходящей функции окна. Для этого метода особенно хорошо подходят окна Кайзера.
Пример КИХ-фильтра
Примером простого КИХ-фильтра может служить скользящее среднее, используемое для обработки сигналов и изображений, системах автоматического управления и для других прикладных целей. Разностное уравнение, которое характеризует фильтр скользящее среднее, является уравнением КИХ-фильтра. Пусть - входной сигнал фильтра, - выходной сигнал. Тогда разностное уравнение будет иметь вид:
Отличительной особенностью скользящего среднего является равенство единице суммы коэффициентов .
для n =0, 1, ..., (N /2)–1, когда N четное, и для n =0, 1,..., (N –1)/2, когда N нечетное, то цифровой фильтр будет обладать линейной фазовой характеристикой.
В большинстве случаев именно потребность в линейной фазе или постоянном групповом времени вызывает необходимость применения цифровых КИХ-фильтров.
1. Метод частотной выборки.
Заданный уравнением (33) цифровой КИХ-фильтр имеет эквивалентное ДПФ-преобразование вида:
где k =0, 1, 2, …, N –1. Используя непосредственно данные соотношения (38), можно получить подходящую КИХ-передаточную функцию из уравнения (37). Эта методика обеспечивает совпадение полученной и требуемой частотных характеристик в точках дискретизации q =2pk /N для k =0, 1, 2,..., N –l.
2. Метод взвешивания.
Поскольку частотная характеристика Н (е j q ) любого цифрового фильтра представляет собой периодическую функцию частоты q , она имеет разложение в ряд Фурье:
 ,
| (39) |
где  .
| (40) |
Очевидно, что коэффициенты ряда Фурье h (n ) фактически представляют собой импульсную характеристику цифрового фильтра.
Одним из возможных способов получения цифровых КИХ-фильтров, аппроксимирующих функцию Н (е j q ), является усечение бесконечного ряда (39) до конечного числа членов. Однако из хорошо известного явления Гиббса следует, что усечение бесконечного ряда вызывает выбросы и колебания в требуемой частотной характеристике до и после любой точки разрыва. Кроме того, величина этих выбросов и колебаний не уменьшается с увеличением длины последовательности при условии сохранения ее конечности. Это по существу означает, что прямое усечение уравнения (39) для получения аппроксимации цифрового КИХ-фильтра не обеспечивает хороших результатов.
Метод взвешивания используется для получения конечных весовых последовательностей w (n ), называемых окнами, которые модифицируют коэффициенты Фурье в уравнении (39) для получения требуемой импульсной характеристики h d (n ) конечной длительности, где:
| h d (n )=h (n )w (n ), | (41) |
а w (n ) – последовательность конечной длительности, т. е. w (n )=0 для n >N и n <0. Из соотношения (41) следует, что результирующая импульсная характеристика h d (n ) также имеет протяженность N отсчетов.
Поскольку умножение двух последовательностей во временной области эквивалентно свертке двух частотных характеристик в частотной области, метод взвешивания обеспечивает сглаживание выбросов первоначальной частотной характеристики, т. е. подавление ее отклонений и пульсаций. Недостатком является расширение переходной полосы.
Для завершения этого подраздела приведем некоторые характерные функции окна:
а) прямоугольное окно:
б) окно Бартлетта или треугольное окно:
в) окно Ханна:
Как и в случае аналоговых фильтров, цифровые БИХ-фильтры не могут обеспечить совершенные линейные фазовые характеристики. В противоположность им цифровые КИХ-фильтры могут быть рассчитаны для обеспечения линейных фазовых характеристик. Кроме того, цифровые КИХ-фильтры всегда устойчивы. Это положительные качества цифровых КИХ-фильтров. К отрицательным чертам относится то, что исполнение цифрового КИХ-фильтра требует большего числа вычислений и большего числа цифровых элементов. Однако во многих ситуациях требуются цифровые КИХ-фильтры для выполнения тех задач, которые невозможно решить на основе цифровых БИХ-фильтров, а именно: получение фильтров с линейной фазой и многоскоростных фильтров, где входной и соответствующий выходной сигналы дискретизированы на разных скоростях.
2.3.3 Представление цифровых фильтров на z- плоскости.
Цифровой фильтр может быть синтезирован путем размещения полюсов и нулей передаточной функции на z- плоскости, основанном на следующих правилах:
1. Полюса и нули должны быть либо действительными, либо иметь комплексно-сопряженную пару.
2. Полюс в точке z=0 оказывает влияние на фазо-частотную характеристику фильтра и не изменяет амплитудно-частотную.
3. Полюс (или ноль) на единичной окружности означает, АЧХ на данной частоте бесконечно возрастает (или обращается в ноль).
4. Полюс вне единичной окружности означает, что фильтр нестабилен, т.е. отклик фильтра на импульс не затухает, а возрастает.
Амплитудно-частотная характеристика и представление на z- плоскости цифрового полосовой фильтр 6-го порядка, где:
– ноль, –полюс.
ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ И ПАРАМЕТРОВ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
Целью работы является генерация сигнала, состоящего из нескольких гармоник, в системе MATLAB 6.1 и исследование в приложении действия фильтров нижних, верхних частот, полосовых и режекторных фильтров на этот сигнал.
Первой задачей является генерация сигнала. Для этого запустите MATLAB 6.1. В начале создания некоторого сигнала зададим вектор-столбец времени t. Для этого в окне Command Window наберите строку:
>> t=(0:.01:2)’;
Эта команда задает изменение t от 0 до 2 с шагом 0,01 и обеспечивает дискретизацию сигнала по времени.
Теперь зададим вектор некоторой функции y(t) , которая представляет собой сумму синусоиды с амплитудой 1 и частотой 1 Гц с синусоидой, имеющей амплитуду 0.25 и частоту 3 Гц:
>> y=sin(2*pi*1*t)+0.25*sin(2*pi*3*t);
Обратите внимание на то, что в этом выражении t – вектор, а потому и y тоже будет вектором. Частота f =1 Гц в первой компоненте сигнала указана в явном виде (как 1) только ради наглядности. Полезно учесть, что в большинстве расчетов MATLAB не использует размерные величины, поэтому лучше сразу привыкнуть к безразмерным величинам.
Теперь можно задать построение графика y(t) :
>> plot(t,y);
Обрабатывать сигналы удобно используя приложение Signal Processing Tool (SPTool) , которое вызывается следующей командой:
Чтобы импортировать сохраненный нами сигнал в это приложение выберите в меню File пункт Import… В раскрывшимся окне поставьте переключатель Source в положение From Workspace . В поле Workspace Contents выберите строку, в которой записано имя функции описывающей сигнал (в данном примере это y ), и нажмите на верхнюю кнопку со стрелкой. В поле Sampling Frequency введите частоту дискретизации. Эта величина обратна шагу изменения времени t , заданному при формировании сигнала (в данном примере шаг изменения t равен 0,01, а частота дискретизации, следовательно, равна 100).
| (42) |
В поле Name записано имя, под которым будет значиться данный сигнал в приложении SPTool . На данной стадии это имя можно изменить по собственному усмотрению. Нажмите кнопку Ok .
Теперь в списке Signals наряду с именами встроенных сигналов появилось имя импортированного сигнала. Нажав кнопку View под списком Signals , можно посмотреть график выделенного сигнала.
В данном приложении можно проектировать и использовать цифровые фильтры для обработки сигналов. В списке Filters записаны имена трех встроенных фильтров. При нажатии кнопки View под списком Filters , появится окно Filter Viever . В нем можно посмотреть:
АЧХ-фильтра (амплитуду можно задать либо в линейном, либо в логарифмическом масштабе либо в децибелах; частоту – либо в линейном, либо в логарифмическом масштабе);
ФЧХ-фильтра (угол можно задать либо в радианах, либо в градусах; частоту – либо в линейном, либо в логарифмическом масштабе);
Групповое время задержки фильтра;
Нули и полюса фильтра;
Отклик на единичный импульс.
Нажав на кнопку New , получаем возможность проектирования фильтров. Кнопка Edit дает возможность редактировать ранее созданные фильтры. В раскрывшемся окне Filter Designer задаются параметры фильтра, производится расчет порядка фильтра и вывод АЧХ.
В поле Sampling Frequency введите частоту дискретизации обрабатываемого сигнала. В поле Algorithm можно выбрать один из следующих видов цифровых фильтров:
КИХ-фильтр Ремеза;
КИХ-фильтр с минимальным среднеквадратическим отклонением;
КИХ-фильтр с окном Кайзера;
БИХ-фильтр с аппроксимацией Баттерворта;
БИХ-фильтр с аппроксимацией Чебышева;
БИХ-фильтр с аппроксимацией инверсной Чебышева;
БИХ-фильтр с эллиптической аппроксимацией.
Выбрав пункт Pole/Zero Editor можно задать с помощью мыши или вводя координаты на Z -плоскости полюса и нули передаточной функции.
Порядок фильтра либо рассчитывается (если стоит птичка в поле Minimum Order ), если вводится в поле Order (если птичка снята). В данной работе порядок фильтров будет рассчитываться.
В поле Type задается тип фильтра: ФНЧ, ФВЧ, полосовой или режекторный фильтр.
Ниже вводятся граничные частоты и затухания полос пропускания и задерживания.
Все вносимые изменения будут тут же отображаться на графике, если поставить птичку в поле Auto Design .
Чтобы отфильтровать сигнал, выберите его в списке Signals , затем в списке Filters выберите фильтр и нажмите на кнопку Apply . В раскрывшимся окне введите (или оставьте введенное по умолчанию) имя отфильтрованного сигнала. Нажмите Ok . Теперь это имя добавилось в списке Signals . Посмотреть график отфильтрованного сигнала можно описанным выше способом.
Задание
1. Сгенерируйте сигнал, состоящий из трех гармоник с частотами 1 , 3, и 5 Гц, имеющих амплитуды 1, 0.5 и 0.75 соответственно. Импортируйте этот сигнал в приложение SPTool и отфильтруйте его так, чтобы:
а) выделить первую гармонику;
б) выделить вторую гармонику;
в) выделить третью гармонику;
г) подавить только вторую гармонику;
используя для этого фильтры нижних, верхних частот, полосовой и режекторный (заградительный) фильтры.
2. Создайте БИХ-фильтр с аппроксимацией Баттерворта. Не меняя параметров фильтра, измените аппроксимацию с Баттерворта на Чебышева, затем на инверсную Чебышева и эллиптическую. Как при этом меняется АЧХ и порядок фильтра.
3. Создайте полосовые БИХ- и КИХ-фильтры с одинаковыми параметрами. Просмотрите АЧХ и ФЧХ данного фильтра. Сравните АЧХ, ФЧХ и порядки полученных фильтров.
4. Сформируйте два синусоидальных сигнала частотой 10 Гц и 20 Гц, длительностью 5 секунд и частотой дискретизации 1000 Гц.
Создайте полосовой БИХ-фильтр с аппроксимацией Чебышева со следующими параметрами:
Частота дискретизации – 1000 Гц;
Левая граничная частота полосы задерживания – 2 Гц;
Левая граничная частота полосы пропускания – 5 Гц;
Правая граничная частота полосы пропускания – 495 Гц;
Правая граничная частота полосы задерживания – 498 Гц;
Максимальное затухание в полосе пропускания – 1дБ;
Минимальное затухание в полосе задерживания – 60дБ.
Создайте полосовой КИХ-фильтр Чебышева (Equiripple FIR ) с аналогичными параметрами.
Отфильтруйте сформированные сигналы с помощью созданных фильтров. Сравните сдвиг фазы между сигналами до фильтрации и после при использовании БИХ- и КИХ-фильтра.
5. С помощью редактора Pole/Zero Editor синтезируйте:
а) фильтр нижних частот;
б) фильтр верхних частот;
в) полосовой фильтр;
г) режекторный (заградительный) фильтр.
6. Запустите приложение Filter Design & Analysis Tool с помощью команды
В данном приложении сформируйте полосовой КИХ-фильтр использую метод взвешенных функций (FIR Window ) со следующими параметрами:
Порядок фильтра – 50;
Частота дискретизации – 2000 Гц;
Левая граничная частота – 250 Гц;
Правая граничная частота – 750 Гц.
Определите использование какой оконной функции дает наибольшее затухание передаточной функции на частоте 200 Гц. Какой минимальный порядок фильтра, передаточная функция которого имеет затухание 40 дБ на частоте 200 Гц?
Контрольные вопросы
1. Назовите 4 основных вида аналоговых фильтров-прототипов.
2. Какие фильтры являются рекурсивными (БИХ), а какие нерекурсивными (КИХ)?
3. Что такое групповое время задержки?
4. Назовите методы расчета БИХ-фильтров.
5. Достоинства и недостатки метода взвешивания при проектировании КИХ-фильтров.
6. Преимущества и недостатки БИХ- и КИХ-фильтров.
7. Как необходимо включать фильтры при создании эквалайзера.