В предыдущих разделах данной главы предполагалось, что объем выборки, на основе которой выносится решение, фиксирован. В § 5.3 уже отмечалось, что значение риска, связанного с принятием решений, уменьшается при увеличении числа наблюдений. Вообще механизм вынесения решений может быть «выбран таким образом, чтобы» кроме основных решений, он позволял определять и необходимый объем выборки. Можно ожидать, что в этом случае удалось бы сократить время от начала наблюдения до принятия решения при том же самом значении было бы построено правило выбора решения, которое следовало бы признать лучше правила, основанного на выборке фиксированного объема. В данном параграфе будут изучены два таких последовательных правила (выбора решения для простого бинарного случая. Одно из них называется байесовским, а другое - последовательным правилом Вальда .
Напомним, что при проверке гипотез по выборке фиксированного объема отношение правдоподобия сравнивается с порогом . При последовательном анализе используются два порога и , которые могут изменяться с изменением числа наблюдений . Если на -м шаге отношение правдоподобия больше порога , то принимается гипотеза . Если оно меньше, чем , то принимается гипотеза . Если же значение отношения правдоподобия лежит между этими порогами, то необходимо произвести очередное наблюдение.
Отношение правдоподобия
где - совместная плотность вероятности выборки при гипотезе , (полученной за первые шагов. Для вычисления порога непоследовательного правила выбора решения необходимо знать априорные вероятности гипотез и . Аналогично для определения порогов последовательного правила на -м шаге необходимо знать априорные вероятности и этих гипотез перед -м шагом. Эти априорные вероятности можно рассматривать как апостериорные, вычисляемые после первых шагов. Их можно определить из соотношений:
Поделив обе части последнего выражения на соответствующие части предыдущего, получим простое выражение для отношения априорных вероятностей на -м шаге
.
(5.109)
В качестве начального значения в этом соотношении следует выбрать отношение , которое использовалось бы при построении непоследовательного правила. На каждом шаге отношение априорных вероятностей подстраивается путем умножения на отношение правдоподобия :
.
(5.110)
зависящее только от результатов наблюдений на предшествующих шагах. Если элементы выборки независимы, то отношение правдоподобия для «всей выборки можно записать как произведение отношений правдоподобия для наблюдений на разных шагах:
то рекуррентное соотношение (5.109) можно записать в следующей полезной форме:
.
(5.113)
Определить среднее значение потерь при наличии решений о продолжении наблюдений (что необходимо при рассмотрении байесовского последовательного правила) довольно трудно. Поэтому обратимся к более простому подходу, предложенному Вальдом . Это правило, называемое обычно последовательным правилом Вальда, является модификацией непоследовательного правила Неймана-Пирсона.
Покажем, что пороги и последовательного правила Вальда связаны простыми соотношениями с вероятностями ложной тревоги и пропуска сигнала. Предположим, что при отношение правдоподобия оказалось равным порогу .
Следовательно, на этом шаге принимается гипотеза и
. (5.114)
Умножая обе части последнего равенства на величину 
и интегрируя в области
принятия гипотезы получим
Это равенство можно записать следующим образом:
Если отношение правдоподобия равно значению порога , то принимается гипотеза . Поскольку при этом
,
(5.117)
то нетрудно установить равенство, аналогичное равенству (5.116)
Из равенств (5.116) и (5.118) следует, что для обеспечения заданных значений вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала следует выбрать следующие значения порогов:
(5.119)
Из этих выражений, в частности, следует, что значения порогов последовательного правила Вальда не зависят от номера наблюдения , если вероятности и не зависят от .
При использовании последовательного правила объем выборки, при котором принимается одна из рассмотренных гипотез, оказывается случайным (можно показать, что одна из гипотез всегда принимается в результате конечного числа шагов). Поэтому желательно определить хотя бы среднее значение необходимого числа наблюдений. Предположим, что пересечение порогов невозможно Тогда существуют всего две возможности при завершении проверки: достигается либо порог , либо порог . Поскольку при этом может быть справедливой либо гипотеза , либо гипотеза , то возможны следующие четыре комбинации при окончании проверки на -м шаге:
(5.120)
Среднее значение отношения правдоподобия при окончании наблюдений (при объеме выборки )
(5.121)
Вычислим теперь отношение правдоподобия для , предположив для простоты, что элементы выборки независимы и одинаково распределены. В этом случае справедливо представление (5.111) при . Поэтому можно записать
Правую часть этого равенства можно рассматривать как произведение двух независимых случайных величин. Вычисляя натуральный логарифм от обеих частей этого равенства, получим
Найдем теперь математические ожидания обеих частей полученного равенства:
Здесь предполагается, что математическое ожидание не зависит от номера наблюдения . Равенство (5.124) записано с учетом того, что
Формулу (5.121) можно записать в несколько ином виде:
Учитывая теперь равенство (5.125), для математического ожидания объема выборки получаем
(5.127)
Интересно сравнить последовательное правило с аналогичным правилом, использующим выборку фиксированного объема. Такое сравнение для задачи с нормальными случайными величинами, дисперсии которых известны и одинаковы при рассматриваемых гипотезах, проведено в примере 5.5. Результаты сравнения для случая непрерывного времени будут приведены позже.
Пример 5.5 . Снова рассмотрим простую задачу различения двух гипотез:
где положительный параметр известен, т.е. гипотеза о среднем значении нормальной случайной величины с известной дисперсией проверяется против простой альтернативы. Как уже отмечалось ранее, при отыскании правила различения гипотез можно использовать различные подходы. Найдем теперь последовательное правило выбора решения. Ради простоты будем предполагать, что элементы выборки независимы (иногда в таком случае говорят, что шум измерения белый)
Согласно ф-ле (5.106) отношение правдоподобия
Значения порогов последовательного правила можно вычислить по ф-ле (5.119), если задать и считать постоянными вероятности ложной тревоги и пропуска сигнала, так что
Таким образом, последовательное правило выбора решения можно записать следующим образом если
,
то принимается гипотеза , если
,
то следует провести еще одно наблюдение, если
,
то принимается гипотеза .
Как и при выборке фиксированного объема, функцию от выборки можно рассматривать как достаточную статистику Пороги построенного таким образом последовательного правила изменяются с ростом номера наблюдения, (см рис.5.9). Разница между значениями порогов постоянна и равна
.
Рис.5.9 Пороги как функции числа наблюдений, тангенс угла наклона соответствующих прямых равен
Так как , то
Средний объем выборки, необходимой для принятия одной из рассматриваемых гипотез, можно вычислить по ф-ле (5.127) В результате получаем
Сравним теперь средний объем выборки, требуемый для принятия окончательного решения с помощью последовательного правила, с объемом выборки, который необходим для достижения тех же значений вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала при применении непоследовательного правила В примере 5.2 уже было показано, что для рассмотренного там непоследовательного правила выбора решения можно записать
;
,
где
порог при
использовании достаточной статистики определяется соотношением 
, а - порог этого
правила. Зададим теперь некоторые значения
вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала для этого непоследовательного
правила Неймана-Пирсона и найдем требуемый объем выборки. Из трех предыдущих
равенств получаем
Отсюда объем выборки, необходимый для обеспечения заданных вероятностей ошибок при использовании правила Неймана-Пирсона,
.
Это выражение получено из двух предыдущих равенств путем исключения переменной . Таким образом, для обоих рассматриваемых правил необходимое число наблюдений растет с увеличением дисперсии и уменьшается с ростом .
Интересно отметить, что объем выборки явно не зависит от порога правила , как это следовало бы ожидать, поскольку порог должен выбираться так, чтобы обеспечить заданные значения вероятностей и . Особенно важным является отношение . Значение этого отношения при заданных вероятностях и зависит от того, какая из гипотез справедлива. На рис 5.10 приведены графики изменения этого отношения при гипотезе .
Рис.5.10 Отношение объема выборки непоследовательного правила к среднему объему выборки последовательного правила при вероятностях ложной тревоги и пропуска сигнала, одинаковых для обоих правил, справедлива гипотеза
Оказывается что при использован и последовательного правила требуется в среднем меньший объем выборки, чем для непоследовательного. И эта экономия среднего числа наблюдений становится существенной при малых значениях вероятностей и .
Пример 5.6. Рассмотрим теперь задачу предыдущего примера, предположив, однако, что число отсчетов значений наблюдаемого процесса на конечном интервале времени может быть неограниченно увеличено. Это позволит построить последовательное правило выбора решения при непрерывном времени. Рассматриваемые гипотезы можно описать следующим образом:
где значение параметра известно, a - стационарный белый нормальный шум, среднее значение которого равно нулю, а ковариационная функция
Начнем с отсчетов непрерывного наблюдаемого процесса в дискретные моменты времени и примем, что
т.е. при любом элементы выборки предполагаются независимыми. Для этого частного случая отношение правдоподобия, рассматривавшееся в предыдущем примере, примет вид
Полученные в этом разделе соотношения можно легко модифицировать с тем, чтобы охватить задачи проверки сложных гипотез с помощью последовательных правил. Последовательность рассуждений при этом полностью совпадает с той, которая подробно описана в § 5.4.
Здесь следует использовать отношение правдоподобия
,
которое при наличии случайного параметра можно записать следующим образом:
. (5.128)
Последовательное правило проверки сложных гипотез после этого строится, как последовательное правило проверки соответствующих простых гипотез.
Вероятности ложной тревоги и пропуска сигнала в этом случае зависят от значения параметра, таr как
,
(5.133)
в котором оценки максимального правдоподобия неизвестного параметра отыскиваются путем максимизации соответствующих условных плотностей вероятности но допустимым областям значений при фиксированной выборке .
Можно рассмотреть также задачу проверки нескольких гипотез с помощью последовательного правила. При этом необходимо ввести вероятности нескольких ошибок, которые служат аналогами вероятностей ложного обнаружения и пропуска сигнала. Соотношения, получающиеся при решении этой задачи, полностью аналогичны тем, которые были получены для бинарного случая.
Поскольку объем выборки, используемой для вынесения окончательного решения с помощью последовательного правила, является случайной величиной с математическим ожиданием то может оказаться необходимым ограничить максимально допустимое число наблюдений или время наблюдения. То есть, если после получения наблюдений окончательное решение с помощью последовательного правила не принято, то для выбора одной из рассматривающихся гипотез используется другое правило:
Вальд указал границы для вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала подобных усеченных последовательных правил.
В примерах данного раздела были рассмотрены простые задачи последовательного анализа для нормальных случайных величин. Теперь перейдем к анализу более полезного варианта этой задачи, который будет играть очень важную роль при изложении в гл. 7 результатов, полученных Калманом при решении задач фильтрации.
Для каждого из описанных ниже критериев будем предполагать, что необходимо выбрать одно из действий при выборе "природой" одного из состояний 
, в результате чего достигается выигрыш
Критерий Вальда или максиминный критерий . В соответствии с этим критерием каждое действие оценивается по наихудшему для него состоянию, и оптимальным является действие, приводящее к наилучшему из наихудших состояний, то есть действие , для которого достигается
,
Можно установить, что согласно максиминному критерию складывающаяся ситуация рассматривается как матричная игра и максиминная стратегия представляет собой наилучший выбор против минимаксной стратегии "природы", то есть против наименее благоприятного априорного распределения вероятностей состояний "природы". С этой точки зрения максиминный критерий является чрезвычайно консервативным, так как "природа" не представляет собой сколько-нибудь разумного игрока. Однако применение этого критерия может быть целесообразным, если по условиям обстановки подобный консерватизм имеет смысл.
Критерий минимаксного риска
Минимаксный критерий (критерий потерь или минимаксного риска ). В соответствии с этим критерием оптимальным считается действие, для которого величина потерь (риска) принимает наименьшее значение при самой неблагоприятной обстановке, то есть действие , для которого достигается
,
где определяется как величина, которую нужно прибавить к , чтобы получить максимальный выигрыш, состоящий в -м столбце.
Для определения оптимального действия согласно минимаксному критерию на основании первоначальной матрицы выигрышей составляется вторая матрица , показывающая потери от ошибок ( матрица потерь). Покажем составление матрицы потерь на конкретном примере.
Пусть матрица
выигрышей задана таблицей на рисунке 12.a . Из рисунка 12.a видно, что если применяется действие , а состояние "природы" , то по отношению к действию достигается наибольший выигрыш, равный 98 единицам, и, следовательно, игрок не несет никаких потерь. Поэтому показатель потерь на пересечении строки и столбца равен нулю. Этот показатель и записывается как элемент матрицы потерь. (См. рисунок 12.b) Если же игрок применяет действие против стратегии , то он получает только две единицы, тогда как максимально возможный выигрыш равен 98. Следовательно, показатель потерь в этом случае будет равен 
; он записывается в таблицу на рисунке 12.b на пересечении строки и столбца Остальные элементы матрицы потерь находятся аналогичным образом.
Рис. 12.a.
Рис. 12.b.
Критерий Гурвица
Критерий пессимизма-оптимизма . В соответствии с этим критерием оптимальным считается действие , для которого достигается
где 
Из приведенного условия видно, что критерий Гурвица является взвешенной средней из наименьших и наибольших выигрышей для принятого коэффициента В частности, при критерий Гурвица соответствует критерию Вальда. Заметим, что минимальный критерий учитывает только наибольший выигрыш, получаемый в результате применения любой стратегии, и безразличен к любым другим вариантам.
Критерий Лапласа
В соответствии с этим критерием оптимальным считается действие, которому соответствует
Следовательно, критерий Байеса (Лапласа) исходит из того, что раз совершенно неизвестно, какое из состояний имеет место
, то нужно поступить так, как будто они равновероятны.
Последовательный анализ
Для построения математических (описательных и нормативных) моделей , как правило, бывает необходимо предварительно определить характеристики тех или иных случайных величин или вероятностей элементарных событий . Обычным путем определения подобных величин является обработка результатов наблюдений и измерений. Обработка таких результатов осуществляется методами математической статистики.
Особое значение для применения методов математической статистики имеет вопрос о числе наблюдений, полученных для оценки того или иного параметра. Классические методы статистики исходят из наличия, в крайнем случае, достаточного числа наблюдений. Однако в силу целого ряда причин не всегда возможно набрать необходимое число наблюдений. Достаточно указать, что увеличение числа наблюдений, как правило, ведет к увеличению затрат материальных средств и времени на проведение соответствующих испытаний. В подобных случаях число наблюдений целесообразно заранее не определять, а решение об окончании эксперимента принимать последовательно на каждом его этапе в зависимости от результатов предыдущих наблюдений, - иными словами, каждый последующий
Понятие риска предполагает наличие рискующего; будем называть его Лицом, Принимающим Решения (ЛПР).
Допустим, рассматривается вопрос о проведении финансовой операции в условиях неопределенности. При этом у ЛПР есть несколько возможных решений i = 1,2,...,т, а реальная ситуация неопределенна и может принимать один из вариантов j = 1,2,..., n . Пусть известно, что если ЛПР примет i - e решение, а ситуация примет j- ый вариант, то будет получен доход q ij . Матрица Q = (q ij) называется матрицей последствий (возможных решений).
Оценим размеры риска в данной схеме.
Пусть принимается i - е решение. Очевидно, если бы было известно, что реальная ситуация будет j -я, то ЛПР принял бы решение, дающее доход q j = . Однако, i - е решение принимается в условиях неопределенности. Значит, ЛПР рискует получить не q j , а только q ij . Таким образом, существует реальная возможность недополучить доход, и этому неблагоприятному исходу можно сопоставить риск r ij , размер которого целесообразно оценить как разность
r ij = q j - q ij . (2.1)
Матрица R = (r ij ) называется матрицей рисков .
Пример 2.1 . Используя формулу (2.1), составьте матрицу рисков
R = (r ij ) по заданной матрице последствий
.
Решение
.
Очевидно, q
1
=
=
8; аналогично q
2
= 5, q
3
= 8, q
4
= 12 . Следовательно, матрица рисков имеет
вид
.
6. Анализ связанной группы решений в условиях полной неопределенности
Полная неопределенность означает отсутствие информации о вероятностных состояниях среды (“природы”), например, о вероятностях тех или иных вариантов реальной ситуации; в лучшем случае известны диапазоны значений рассматриваемых величин. Рекомендации по принятию решений в таких ситуациях сформулированы в виде определенных правил (критериев). Рассмотрим основные из них.
Критерий
(правило) максимакса.
По этому критерию определяется вариант
решения, максимизирующий максимальные
выигрыши - например, доходы – для каждого
варианта ситуации. Это критерий крайнего
(“розового”) оптимизма
,
по которому наилучшим является решение,
дающее максимальный выигрыш, равный
.
Рассматривая i
-
е
решение, предполагают самую хорошую
ситуацию, приносящую доход
,
а затем выбирают решение с наибольшимa
i
.
Пример 2.2. Для матрицы последствий в примере 2.1 выбрать вариант решения по критерию максимакса.
Решение.
Находим последовательность значений
:a
1
=8,
a
2
=12,
a
3
=10,
a
4
=8.
Из этих
значение находим наибольшее: a
2
=12
.
Следовательно, критерий максимакса
рекомендует принять второе решение
(i
=2
).
Правило
Вальда
(правило максимина, или критерий крайнего
пессимизма).
Рассматривая i-e
решение, будем полагать, что на самом
деле ситуация складывается самая плохая,
т.е. приносящая самый малый доход: b i
=
min
q ij .
Но теперь выберем решение i
0
с наибольшим
.
Итак, правило Вальда рекомендует принять
решение
i
0
такое, что
=
=
.
Пример 2.3. Для матрицы последствий в примере 2.1 выбрать вариант решения по критерию Вальда.
Решение. В примере 2.1 имеем b 1 = 2, b 2 = 2, b 3 = 3, b 4 = 1. Теперь из этих значений выбираем максимальное b 3 = 3. Значит, правило Вальда рекомендует принять 3-е решение (i =3 ).
Правило
Сэвиджа
(критерий минимаксного риска).
Этот критерий аналогичен предыдущему
критерию Вальда, но ЛПР принимает
решение, руководствуясь не матрицей
последствий Q,
а матрицей рисков R
= (r ij).
По этому критерию лучшим является
решение, при котором максимальное
значение риска будет наименьшим, т.е.
равным
.
Рассматривая i-e
решение, предполагают ситуацию
максимального риска r i =
и выбирают
вариант решения i 0
с наименьшим
=
=
.
Пример 2.4. Для исходных данных в примере 2.1 выбрать вариант решения в соответствии с критерием Сэвиджа.
Решение
.
Рассматривая матрицу рисков R,
находим последовательность величин r i
=
: r 1
= 8,
r 2
=
6, r 3
=
5, r 4
=
7. Из этих
величин выбираем наименьшую: r 3
=
5. Значит,
правило Сэвиджа рекомендует принять
3-е решение (i
=3
).
Заметит, что это совпадает с выбором по
критерию Вальда.
Правило
Гурвица
(взвешивающее пессимистический и
оптимистический подходы к ситуации).
По данному критерию выбирается вариант
решения, при котором достигается максимум
выражения c i =
{λminq ij
+ (1 –
λ)maxq ij },
где
0
λ
1.
Таким образом, этот критерий рекомендует
руководствоваться некоторым средним
результатом
между крайним оптимизмом и крайним
пессимизмом
.
При λ=0 критерий Гурвица совпадает с
максимаксным критерием, а при λ=1 он
совпадает с критерием Вальда. Значение
λ выбирается из субъективных (интуитивных)
соображений.
Пример 2.5. Для приведенной в примере 2.1 матрицы последствий выбрать наилучший вариант решения на основе критерия Гурвица при λ =1/2.
Решение. Рассматривая матрицу последствий Q по строкам, для каждого i вычисляем значения c i = 1/2minq ij + 1/2maxq ij . Например, с 1 =1/22+1/28=5; аналогично находятся с 2 =7; с 3 =6,5; с 4 = 4,5. Наибольшим является с 2 =7. Следовательно, критерий Гурвица при заданном λ =1/2 рекомендует выбрать второй вариант (i =2 ).
Выбор наилучшего решения в условиях неопределенности существенно зависит от того, какова степень этой неопределенности, т.е. от того, какой информацией располагает ЛПР.
Предположения субъективны, поэтому и степени неопределенности со стороны ЛПР должны различаться. Практикуются два основных подхода к принятию решения в условиях неопределенности. Лицо, принимающее решение, может использовать имеющуюся у него информацию и свои собственные личные суждения, а также опыт для идентификации и определения субъективных вероятностей возможных внешних условий, оценки возможных последствий альтернатив в различных условиях внешней среды. Это, в сущности, делает условия неопределенности аналогичными условиям риска, а процедура принятия решения, обсуждавшаяся ранее для условий риска, выполняется и в этом случае.
Если степень неопределенности слишком высока, то ЛПР предпочитает не делать допущений относительно вероятностей различных внешних условий, т.е. это лицо может или не учитывать вероятности, или рассматривать их как равные, что практически одно и то же. Если применяется данный подход, то для оценки предполагаемых стратегий имеются четыре критерия решения:
- 1) критерий решения Вальда, называемый также максимином;
- 2) альфа-критерий решения Гурвица;
- 3) критерий решений Сэвиджа, называемый также критерием отказа от минимакса;
- 4) критерий решений Лапласа, называемый также критерием решения Бэйеса.
Пожалуй, наиболее трудная задача для ЛПР заключается в выборе конкретного критерия, наиболее подходящего для решения предложенной задачи. Выбор критерия должен быть логичным при данных обстоятельствах. Кроме того, при выборе критерия должны учитываться философия, темперамент и взгляды нынешнего руководства фирмы (оптимистические или пессимистические, консервативные или прогрессивные).
Рассмотрим эти утверждения на конкретном примере. Элементами модели выбора альтернатив в условиях неопределенности являются матрица принятия решений |А i, Sj| и целевая функция Е {A i, w (S j)} (рис. 6.9).
Рис. 6.9.
А i, – альтернативы действий; Sj – состояние внешней среды; w (S j) – вероятности наступления состояния S j, причем Σmj= 1w(S j) = 1; e ij – результат, который будет достигнут, если выбрана альтернатива А i и наступит состояние внешней среды S j
В качестве иллюстрационного примера возьмем матрицу решений (рис. 6.10), включающую в себя пять альтернатив (A i; i = 1, ..., 5) и четыре состояния внешней среды (S j; j = 1,4). Последствия принимаемых решений приведены на пересечении строк и столбцов (e ij).
Рис. 6.10.
В условиях определенности, т.е. когда принятие решений происходит после наступления событий во внешней среде (апостериори), должно приниматься решение, максимизирующее целевую функцию (рис. 6.11). Так, при наступлении события S 1 необходимо принимать альтернативу A2, при S2 → A4, при S3 → A5, при S4 → A1.
Рис. 6.11.
В условиях риска необходимо принимать решение (выбирать альтернативу Ai) до наступления события Sj во внешней среде (априори), что требует учета вероятности w (Sj) наступления этого события. Это можно сделать путем умножения вероятности наступления этого события w (S j) на результат e ij, получаемый от принятия того или иного решения, и выбрать наибольшее значение Ai (рис. 6.12).
Рис. 6.12.
В случае если степень неопределенности слишком высока, то ЛПР может присваивать значениям вероятности свои субъективные значения, сводя задачу к принятию решений в условиях риска, либо не делать допущений относительно вероятностей различных внешних условий, т.е. может или не учитывать вероятности, или рассматривать их как равные, применяя различные критерии для выбора.
Критерий решения Вальда
Критерием Вальда "рассчитывай на худшее" (критерий крайнего пессимизма, или максимин) называют критерий, предписывающий обеспечить значение параметра эффекта, равного а:
Этот критерий ориентирует ЛПР на наихудшие условия и рекомендует выбрать ту стратегию, для которой выигрыш максимален. В других, более благоприятных условиях использование этого критерия приводит к потере эффективности системы или операции.
В рассматриваемом случае (рис. 6.13) в соответствии с критерием "крайнего пессимизма" наилучшей альтернативой будет A1.
Другим предельным случаем критерия Вальда является критерий "необузданного оптимизма", или максимакс:
В соответствии с этим критерием необходимо выбрать альтернативу А 2.
Рис. 6.13.
Альфа-критерий решения Гурвица
Этот критерий рекомендует при выборе решения в условиях неопределенности не руководствоваться крайним пессимизмом (всегда "рассчитывай на худшее", α = 0) или крайним оптимизмом ("все будет наилучшим образом", а = 1). Рекомендуется некое среднее решение (0 ≤ α ≤ 1). Этот критерий имеет следующий вид:
где α – некий коэффициент, выбираемый экспериментально из интервала между 0 и 1.
Использование этого коэффициента вносит дополнительный субъективизм в принятие решений с использованием критерия Гурвица.
В рассматриваемом примере (рис. 6.14) для случая а = 0,7 предпочтительной альтернативой становится А3.
Рис. 6.14.
Здесь приняты следующие обозначения:
Критерий решения Сэвиджа
В соответствии с этим минимаксным критерием, если требуется в любых условиях избежать большого риска, то оптимальным будет то решение, для которого риск, максимальный при различных вариантах условий, окажется минимальным.
При использовании критерия Сэвиджа обеспечивается наименьшее значение максимальной величины риска:
где риск r ij определяется выражением r ij = β – e ij, β – максимально возможный выигрыш.
Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда, – это критерий крайнего пессимизма, но только пессимизм здесь проявляется в том, что минимизируется максимальная потеря в выигрыше по сравнению с тем, чего можно было бы достичь в данных условиях.
Для рассматриваемого примера результаты выбора альтернативы приведены на рис. 6.15.
Рис. 6.15.
В рассматриваемом примере альтернатива А 4 минимизирует максимальное "наказание" за неверно определенное состояние внешней среды.
Критерий решения Лапласа
Критерий Лапласа, или байесов критерий, гласит, что если вероятности состояния среды неизвестны, то они должны приниматься как равные. В этом случае выбирается стратегия, характеризующаяся самой предполагаемой стоимостью при условии равных вероятностей. Критерий Лапласа позволяет сводить условие неопределенности к условиям риска. Критерий Лапласа называют критерием рациональности, и он подходит для стратегических долгосрочных решений, как и все названные выше критерии.
В рассматриваемом примере наилучшей альтернативой по критерию Лапласа (рис. 6.16) является А 5.
Рис. 6.16.
Кроме названных выше четырех критериев для принятия решений в условиях неопределенности существуют неколичественные методы, такие как приобретение дополнительной информации, хеджирование, гибкое инвестирование и др.