Управляемость и наблюдаемость.

Рассмотрим два фундаментальных свойства систем управления, которые имеют такое же большое значение, как и свойство устойчивости. Первое из них связано с возможностью перевода системы из любого начального состояния в любое другое заданное состояние, а второе – с возможностью определить состояние системы по управляемой величине и управляющему воздействию.

1. Управляемость.

Определение управляемости. Система (управляемая система или объект) с уравнением состояния

является полностью управляемой , если существует управляющий сигнал f , который переводит систему из нулевого начального состояния х (0)= 0 в момент t 0 = 0в любое другое состояние х (t f )за конечное время t f .

Состояние системы в текущий момент времени t можно изобразить с помощью точки М в пространстве состояния. Под пространством состояния понимаем пространство, осями которого являются переменные состояния.

Здесь точка М – изображающая точка.

Изменение положения изображающей точки – это переход системы из одного состояния в другое.

Нетрудно показать, что если система полностью управляемая, то ее при некоторых допущениях можно перевести из любого начального состояния в любое другое состояние. Это свойство системы называют достижимостью .

Управляемость – частный случай достижимости.

На рисунке выше дана геометрическая интерпретация свойств управляемости и достижимости.

Теорема Калмана. (О полной управляемости).

Для полной управляемости системы, описываемой уравнением (1), необходимо и достаточно, чтобы матрица управляемости (блочная матрица)

(2)

имела ранг, равный n , где n – порядок системы: . Матрица U имеет размерность (), так как каждый блок имеет размерность , а всего n блоков ( столбцов).

Если существует хотя бы один минор n -го порядка матрицы U , то . Минор n -го порядка – определитель матрицы U , составленный из n произвольных столбцов матрицы U .

Для системы с одним входом, т.е. если , то U – квадратная матрица и имеет единственный минор n -го порядка, который совпадает с определителем матрицы . При этом условие полной управляемости для r =1:

то есть матрица управляемости должна быть невырожденной.

Пример. Для двойного интегратора

,

где k – коэффициент усиления двойного интегратора.

Является лидвойной интегратор полностью управляемым, и при каких условиях?

В данном случае n= 2, . Следовательно, в соответствии с (2) матрица управляемости двойного интегратора

,

.,

Следовательно, , если . Это и есть условие полной управляемости двойного интегратора.

Команды Matlab: U=ctrb (A,B ); r=rank (U ).

Замечание 1. Физический смысл свойства полной управляемости заключается в том, что управление оказывает влияние на каждую из переменных состояния , . При этом можно изменять положение изображающей точки произвольно с помощью соответствующего управления.

Замечание 2. Является ли система полностью управляемой можно определить с помощью операционной структурной схемы. Если на операционной структурной схеме имеются пути, ведущие от управления к каждой переменной состояния, то система является полностью управляемой.

Пример . Рассмотрим операционную структурную схему системы, представленную на рисунке ниже. Здесь , n= 2.

Как видим, управление u будет оказывать влияние лишь на переменную х 1 . Левая часть структурной схемы ведет себя автономно от управления u . Следовательно, система не является полностью управляемой. Если система не является полностью управляемой, то ее можно разложить на управляемую и неуправляемую части (подсистемы).

Аналитически покажем, что рассматриваемая система не является полностью управляемой. Для этого по структурной схеме найдем уравнения в переменных состояния

из которых видно, что управление u не влияет на х 2 .

Найдем A и B :

, .

Отсюда матрица управляемости

.

Как видим, , то есть система не удовлетворяет условию полной управляемости.

Замечание 3. Если система с одним входом, другими словами, при r= 1, не является полностью управляемой, то ее ПФ вырождается, другими словами, ее ПФ является вырожденной ПФ, то есть порядок знаменателя ПФ будет меньше порядка системы (порядка характеристического уравнения системы).

Отсюда система с одним входом является полностью управляемой, если ее передаточная функция не содержит одинаковых сомножителей в числителе и знаменателе (сокращаемых сомножителей).

Для примера, рассмотренного в замечании 2:

, , l= 1.

При этом ПФ системы

,

где характеристический многочлен

Следовательно, корни характеристического уравнения =0, другими словами, полюсы системы равны: .

Найдем числитель , представляющий собой скалярный многочлен

.

Порядок системы n= 2, а порядок знаменателя ПФ равен 1, то есть передаточная функция системы вырождена. Эта система устойчива по начальным условиям, если (левые корни). Если , ( есть правый корень), то система устойчива по входу и неустойчива по начальным условиям. Другими словами, компенсация правых (неминимальнофазовых) нулей системы за счет полюсов последовательно включенной еще одной системы делает последовательное соединение не стабилизируемым.

Наблюдаемость и управляемость системы

Модели динамических объектов в условиях неполной наблюдаемости

Понятие наблюдаемости и дуальное ему понятие управляемости были впервые введены Калманом в 1960 г. Хотя при обсуждении методов идентификации понятие наблюдаемости важнее понятия управляемости, оба они ввиду их дуальности рассматриваются совместно.

Говорят, что система является управляемой, если она может быть переведена из любого состояния при в любое другое желаемое состояние за конечный интервал времени t путем приложения кусочно-непрерывного входного воздействия , .

Рис. 1. Неуправляемая система

Понятие управляемости можно проиллюстрировать схемой, показанной на рис. 1. Видно, что эта система является неуправляемой, так как управляющее входное воздействие u (t ) влияет не на все переменные состояния. Кроме того, управляемая замкнутая линейная система может иметь произвольные собственные значения независимо от собственных значений соответствующей разомкнутой системы. Это свойство детально рассмотрено Вонхэмом.

В литературе описаны критерии анализа управляемости (и соответственно наблюдаемости) систем. Все они основаны на рассмотрении канонического уравнения состояния и на полиномиальном разложении .

Выше было сказано, что понятие наблюдаемости дополняет понятие управляемости. Если управляемость требует, чтобы каждое состояние системы было чувствительно к воздействию входного сигнала, то наблюдаемость требует, чтобы каждое состояние системы влияло на измеряемый выходной сигнал.

Рис. 2. Нанаблюдаемая система

Система наблюдаема, если все ее состояние можно непосредственно или косвенно определить по выходному вектору системы. Поэтому, когда определенное состояние (или изменение этого состояния) не влияет на выходной вектор, система ненаблюдаема (рис. 2), точно так же как отсутствие влияния вектора выходного сигнала на определенное состояние означает, что система неуправляема (показано на рис. 1). Кроме того, ненаблюдаемая система не может быть идентифицирована; в терминах ее полной модели в пространстве состоянии, очевидно, невозможна идентификация параметров, относящихся к ненаблюдаемым состояниям.

• наличие хотя бы одной цели, которую принимают члены группы как общую для себя;
• наличие членов группы, которые намеренно работают вместе, чтобы достичь общей цели.

Таким образом, получается, что организация - это группа людей, которая сознательно координирует свои усилия для достижения общих целей, т. е. управляется. Управление - это целенаправленное воздействие на объект для достижения требуемого результата. Управление подразумевает наличие четырех основных элементов; вход основной системы, выход основной системы, канал обратной связи, блок управления. Такая система построена на принципе контроля результатов деятельности организации и увязке контролируемых параметров с целями на входе. Такой вид управления получил название управление по целям.

Весь процесс управления является непрерывным и состоит из четырех основных этапов. Изначально организация и ее подразделения получают задания в виде целей, под которые планируются процедуры, дающие ответ на вопросы; кто, что, где, в какие сроки и в каком количестве должен сделать. Проверка результата работы наступает после установленного срока выполнения работы. При этом оцениваются степень достижения цели и проблемы, мешавшие ее достижению. В результате контроля за результатами работы устанавливаются причины отклонения от плановых процедур и разрабатываются корректирующие мероприятия. Чтобы привести результаты к плановым, необходимо выявить природу несоответствия и при необходимости скорректировать цели. Например, если результат не был достигнут из-за некомпетентности работника, то достаточно будет применить к этому работнику санкции или заменить его, но если отклонения от намеченных результатов произошли из-за изменений во внешней среде (обвал курса рубля), необходимо корректировать цели организации или ее отдельных подразделений.

Условия управления. Оценка результатов управления - это сравнение достигнутых результатов деятельности организации в целом и ее отдельных подразделений с поставленными целями. Оценка результата управления используется как механизм обратной связи. При оценке результатов управления выявляют следующие основные параметры:

• результаты функционирования (деятельности);
• наличие ресурсов для выполнения поставленных задач;
• уровень компетентности сотрудников различных звеньев;
• степень управляемости организацией, или как слаженно функционирует вся система, где и когда происходили сбои при передаче информации и ресурсов.

Одним из наиболее важных условий надежности управления является разработка системы показателей результатов. Анализ количественных и качественных показателей способствует выявлению сильных и слабых сторон организации, помогает определить ее конкурентные преимущества (если она работает в условиях рынка), выявляет адаптационные свойства.

Основные количественные показатели:

• производственные - производительность, себестоимость, рентабельность, коэффициент сменности и т. д.;
• по персоналу - число прогулов, текучесть кадров, количество больничных листов, частота повышения квалификации и т. д.;
• финансово-экономический - прибыльность, оборачиваемость, платежеспособность, норма доходности акций и т. д.;
• рыночные (маркетинговые) - доля рынка и ее динамика, объем реализации, количество клиентов и величина потребления на одного клиента и т. д.

Основные качественные показатели:

• навыки и компетенция персонала;
• компетенция руководства;
• знание рынка;
• уровень организационной культуры;
• уровень инновационности (разработка и применение новых технологий);
• имидж организации и т. д.

В подавляющем большинстве случаев организация имеет множество различных целей. Возникает целый набор взаимосвязанных, а иногда и противоречивых целей. Многообразие целевых установок превращает организацию в сложную организацию. Например, даже не очень крупное производственное предприятие имеет цели по закупке сырья, по его переработке, по подбору персонала, по распределению готовой продукции и т. д. Все эти цели должны быть взаимоувязаны во времени, согласованы с внешними условиями. Если срывается закупка, то отдел реализации своих целей не достигает.

Общие черты организации:

• ресурсы;
• зависимость от внешней среды;
• разделение труда - горизонтальное и вертикальное;
• подразделения;
• необходимость управления.

Управление необходимо для координации всех задач, осуществляемых организацией. Управление организацией - это процесс планирования, организации, мотивации и контроля ДЛЯ того, чтобы сформулировать и достичь целей организации.

Управляемость и наблюдаемость линейных систем регулирования относится к основным понятиям теории автоматического регулирования, с помощью которых можно оценивать структурные схемы систем и выполнять преобразование путем ввода дополнительных сигналов или за счет их исключения. Если в системе автоматического регулирования сигнал управления сформированный в задатчике, представляет собой некоторую совокупность его составляющих превышает число степеней свободы системы, описанной уравнением то система является неуправляемой. Действительно, в этом случае систему регулирования нельзя перевести из начального состояния в любое конечное состояние под действием некоторого входного сигнала При системы автоматического регулирования именуют вполне управляемыми.

Линейную стационарную систему автоматического регулирования называют полностью управляемой, если из любого начального состояния ее можно перевести в конечное состояние при помощи входного сигнала в течение конечного интервала времени. Необходимое и достаточное условие полной управляемости линейной стационарной системы, описываемой уравнением

таково: матрица

размера первые столбцов которой состоят из элементов матрицы В, а следующие столбцов - из элементов матрицы и т. д., должна иметь ранг .

С понятием управляемости связано понятие наблюдаемости системы. Наблюдаемость позволяет установить начальное состояние системы автоматического регулирования по результатам измерений одного выходного сигнала.

Линейная стационарная система автоматического регулирования, описываемая уравнениями

полностью наблюдаема, если можно определить начальное состояние системы по следующий данным;

а) матрица А и С;

б) выходному сигналу от начальных условий при заданному на конечном интервале времени

Необходимое и достаточное условие полной наблюдаемости линейной стационарной системы заключается в том, что сопряженная матрица 1

типа должна иметь ранг

Рассмотрим два типа систем автоматического регулирования.

Первый тип - система имеет лишь один выходной сигнал

Для этой системы необходимым и достаточным условием полной наблюдаемости является отличие от нуля всех коэффициентов.

Второй тип - система имеет несколько выходных сигналов:

Тогда необходимым и достаточным условием полной наблюдаемости является то, что для каждого один из коэффициентов Он, не должен равняться нулю.

Пример IX. 15. Определить, является ли линейная стационарная система автоматического регулирования (рис. IX. 19, а) полностью неуправляемой и наблюдаемой. Составим уравнение состояния для этой системы в виде

Из уравнения (IX.253) следует, что матрица А имеет размерность

В этом случае формула (IX.251), по которой определяется управляемость, примет вид

Определитель матрицы (IX.255) будет что соответствует рангу матрицы К, меньщему 2. Для полной управляемости системы регулирования ранг матрицы К должен быть равен 2. Поэтому рассматриваемая система является неуправляемой.

Определим наблюдаемость системы регулирования. Для этого воспользуемся формулой (IX.252). В нашем случае

Рис. IX.19. Структурные схемы системы автоматического регулировании для примера IX.15

Подставив соответствующие сопряженные значения матриц в формулу (IX.256), получим

Определитель матрицы (IX.252) что соответствует рангу, меньшему 2. Для получения полной наблюдаемости системы регулирования ранг матрицы должен быть равен 2. Поэтому рассматриваемая система регулирования является ненаблюдаемой.

Этот результат становится очевидным из анализа передаточной функции замкнутой системы

Если сократить нуль в прямой цепи, когда полюс находится в цепи обратной связи, то получим

Из выражения (IX.259) можио найтн характеристическое уравнение замкнутой системы в виде

что указывает на неустойчивость системы регулирования.

Управляемость и наблюдаемость системы автоматизированного управления

Рассмотрим случай, когда все переменные состояния могут быть измерены, а результаты этих действий могут быть использованы для управления системой. Однако такой случай не всегда технически реализуем. Поэтому для систем автоматического управления вводится понятие управляемости.

Рассмотрим:

где - матрицы с постоянными коэффициентами.

При этом управление полагается скалярным, т.е. управление объектом осуществляется по одной координате.

Заданы начальная и конечная точка, и. Задача состоит в том, чтобы перевести систему из заданного начального положения в некоторую точку, совпадающую с началом координат. При этом никаких ограничений на величину управляющего воздействия и время регулирования не накладывается. Если такая задача решается при любых начальных и конечных условиях, то такая система является управляемой.

Система называется управляемой, если существует такое управление, которое из любого начального состояния в любое конечное положение. При каких условиях система является управляемой. Попытаемся выяснить причины неуправляемости. Это удобно сделать с помощью геометрического представления движения системы. Как отмечалось выше решение линейного однородного уравнения имеет вид:

Если какой-нибудь из коэффициентов, а остальные отличны от нуля, то движение происходит в инвариантном подпространстве матрицы. С геометрической точки зрения все траектории лежат в плоскости S, т.е. вектор также направлен вдоль этой плоскости. Предположим, что вектор тоже лежит в плоскости. Очевидно, что добавка к вектору величины оставляет вектор в той же плоскости, хотя и деформирует траекторию движения вектора состояния. Следовательно, если начальная точка лежит в плоскости, а конечная -- нет, то попасть в точку с заданными координатами нельзя, так как не существует управления, которое переводит состояние системы с заданными параметрами из начальной точки в конечную. Такая система неуправляема по определению.

Условия управляемости в терминах исходной системы получены Калманом и имеют вид:

Для управляемости системы (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие вида

Это условие выполняется, если матрица U вида

имеет ранг, равный N.

Рангом матрицы называется наибольший порядок ее определителя, отличный от нуля.

Рассмотрим поведение системы в пространстве состояний собственных векторов матрицы А (для простоты будем полагать, что собственные значения матрицы А -- действительные и различные). Как мы убедимся в дальнейшем, в этом пространстве условия управляемости становятся практически очевидными. Введем неособое преобразование вида

Выше отмечалось, что и существует. Поэтому вектора X и Y связаны однозначной зависимостью. Следовательно, задачи об управляемости в пространствах этих переменных эквивалентны.

В пространстве новых переменных

поведение САУ описывается уравнением

Рассмотрим произведение

Следовательно, уравнение (4) приводится к виду

Вектор столбец с компонентами.

Так как матрица Р диагональная, то

и если хотя бы одно, то координата -- неуправляема. Поэтому можно предположить, что, если все, то система управляема.

Рассмотрим n-мерное пространство состояния Х, в котором каждому состоянию системы соответствует некоторое положение изображающей точки, определяемое значениями фазовых координат.

Пусть в пространстве состояния заданы два множества и. Рассматриваемая система будет управляемой, если существует такое управление, определенное на конечном интервале времени, которое переводит изображающую точку в пространстве Х из подобласти в подобласть.

Можно сузить определение управляемости и понимать под ней возможность перевода изображающей точки из любой области пространства состояний Х в начало координат. Система будет управляемой, если каждое состояние управляемо в этом смысле.

От пространства состояний Х перейдем к другому пространству посредством неособого преобразования, причем, где -- матрица коэффициентов.

Тогда вместо уравнения вида

где j -- матрица возмущающих и задающих воздействий,

u -- матрица-столбец управляющий величин,

y -- матрица-столбец регулируемых величин,

x- матрица-столбец фазовых координат,

будем иметь

Здесь использованы преобразованные матрицы коэффициентов:

Введение новых фазовых координат посредством неособого преобразования

приводит к эквивалентным системам различной структуры. При некотором преобразовании может оказаться, что часть управляющих величин не входит в некоторые дифференциальные уравнения (7) или часть фазовых координат не участвует в формирование вектора выходного сигнала. В первом случае система не будет полностью управляемой, а во втором -- полностью наблюдаемой.

В случае не полностью управляемой системы ее исходное уравнение могут быть представлены в виде

Это иллюстрирует рис. 7. Набор фазовых координат соответствует управляемой части фазовых координат, а набор -- неуправляемой части.

Рис. 1.

Калманом был доказан критерий управляемости, который гласит, что размерность управляющей части системы, то есть порядок первой группы уравнений (7) совпадает с рангом матрицы

где k -- размерность управляющего вектора.

При система полностью управляема, при -- система не полностью управляема, при -- система полностью не управляема.

Рис. 2.

На рис. 8 представлен простейший пример. Если рассматривать выходную величину при нулевых начальных условиях, то можно записать

определяются начальными условиям до приложения входного сигнала, а -- вынужденная составляющая. Система устойчива при.

Если начальные условия до приложения управляющего сигнала были нулевыми, то поведение системы может быть рассчитано по передаточной функции

В этом случае переходный процесс в системе определяется как

управляемость наблюдаемость автоматизированный калман

Как следует из последнего выражения, во втором случае система описывается дифференциальным уравнением не третьего, а второго порядка. Система будет устойчивой даже при.

Рассмотренная система будет не полностью управляемой. В ней оказывается, а.

При введении второй составляющей управления система оказывается полностью управляемой, и ей будет соответствовать матрица-строка передаточный функций по управлению

В случае не полностью наблюдаемой системы ее уравнения могут быть представлены в виде

Эти уравнения отличаются от (7) тем, что фазовые координаты группы не входят ни в выражения для и, ни в первое уравнение, куда входят фазовые координаты группы. Группа фазовых координат относится к ненаблюдаемым.

Калманом показано, что порядок первой группы уравнений совпадает с рангом матрицы V вида

При система полностью наблюдаема, при -- система не полностью наблюдаема, при -- система полностью ненаблюдаемая.

На рис. 9 изображен простейший пример. Для него легко показать, что в формировании выхода участвуют только две фазовые координаты из трех.

Рис. 3.

В общем случае система может содержать четыре группы фазовых координат:

управляемую, но ненаблюдаемую часть,

управляемую и наблюдаемую часть,

неуправляемую и ненаблюдаемую часть,

неуправляемую но наблюдаемую част.

Исходные уравнения системы (7) можно для самого общего случая записать следующим образом:

Левая часть характеристического уравнения

где Е -- единичная матрица размера, системы в этом случае содержит четыре сомножителя:

Управляемость и наблюдаемость системы в изложенном смысле не всегда совпадает с практическими представлениями. Даже если какая-либо фазовая координата и может быть вычислена по доступным для измерения выходным величинам обработка измеренных величин может быть, во-первых, сложной и, во-вторых, она может быть затруднена наличием помех. Поэтому практически наблюдаемыми координатами обычно считаются те из них, которые могут быть измерены датчиками различных типов.