Агрегатные состояния. Основные положения МКТ. Частицы находятся в хаотичном, непрерывном движении. Все вещества состоят из частиц, между которыми есть промежутки. Твердое. Жидкое. Частицы притягиваются и отталкиваются. Строение вещества. Докажи на опыте. Газообразное.
«Законы движения Ньютона» - Первый закон Ньютона называют законом инерции. Всегда применяется при взаимодействии тел. Закон верен для любых сил. Сила F является причиной и определяет ускорение а. Вектор ускорения сонаправлен с вектором силы. Силы, с которыми тела взаимодействуют друг с другом, равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Цель: 1. Создать условия для изучения законов Ньютона. 2. Создать условия для развития умений вступать в речевое общение, умение обобщать. 3. Создать условия для воспитания аккуратности, воли и настойчивости для достижения конечного результата.
«М.В.Ломоносов учёный» - Идеи на которых строится педагогическая теория М. В. Ломоносова. История. Физика. Отводил большую роль воспитанию « … Минерал встречен в пластинчато-таблитчатых выделениях размером до 7 х 5 х 0,6 см. Прежде всего, для расширения державы Российской. Ломоносов родился 8 (19) ноября 1711 г. на Курострове близ Холмогор в семье помора. Ассоциирует с гакманитом, лампрофиллитом, эвдиалитом, арфведсонитом, микроклином, рамзаитом.
«Изобретение паровой машины» - Но принципиальная схема машины Ньюкомена оставалась неизменна на протяжении 50 лет. Пар поступал в цилиндр из котла по боковой трубе. В 1690 г. был создан принципиально новый проект парового двигателя. С 1776 года началось фабричное производство паровых машин. Мини проект: В 1765 году английский механик Джеймс Уатт создает паровой двигатель. Кожух сверху был закрыт, а цилиндр - открыт. Однако коэффициент полезного действия самых лучших паровых двигателей не превышал 5%!
«Лазеры физика» - Военная промышленность. В полупроводниковом лазере излучает слой между двумя полупроводниками P-и n-типа. Макс Планк. Лазер режет, сваривает и кует. Газовый лазер. Воспроизведение CD и DVD дисков. Принцип работы лазеров. Лазеры. На предприятиях лазеры используются для более качественного изготовления изделий. А. М. Прохоров, Н. Г. Басов, Ч. Таунс. Газодинамический лазер. Применение лазеров. Кристалл рубина (с примесью хрома – 0,05%) позволяет реализовать состояние инверсии. Содержание.
«Зеркала» - Здесь ae?(H-h)/2; em?L; mp?h/2; Mp?l Отсюда: Прямые зеркала используются в перископах подводных лодок. Будем считать,что зеркало висит посередине стены. Законы движения в зазеркалье так же вывернуты, как и неподвижные отражения. Волшебные зеркала. По построению треугольники ame и mMp подобны. Главный фокус выпуклого зеркала является мнимым. Применение сферических зеркал. Значит,
Выводятся формулы прямолинейного движения материальной точки для трех способов задания движения - при известной зависимости координаты от времени; при известной зависимости ускорения от времени и ускорения от координаты. Рассмотрены прямолинейное равномерное и прямолинейное равноускоренное движения.
Основные формулы прямолинейного движения
Пусть материальная точка движется по оси .
Далее и обозначают координату и скорость точки в начальный момент времени .
Если задан закон изменения ее координаты от времени
:
,
то дифференцируя координату по времени, получаем скорость и ускорение точки:
;
.
Пусть нам известна зависимость ускорения от времени
:
.
Тогда зависимости скорости и координаты от времени определяются по формулам:
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
.
Пусть нам известна зависимость ускорения от координаты
:
.
Тогда зависимость скорости от координаты имеет вид:
(5)
.
Зависимость координаты от времени определяется в неявном виде:
(6)
.
Для прямолинейного равномерного движения
:
;
;
.
Для прямолинейного равноускоренного движения
:
;
;
;
.
Приведенные здесь формулы можно применить не только для прямолинейного движения, но и для некоторых случаев криволинейного движения . Например для трехмерного движения в прямоугольной системе координат , если движение вдоль оси не зависит от проекций величин на другие координатные оси. Тогда формулы (1) - (6) дают зависимости для проекций величин на ось .
Также эти формулы применимы при движении по заданной траектории при естественном способе задания движения. Только здесь в качестве координаты выступает длина дуги траектории, отсчитываемая от выбранного начала отсчета . Тогда вместо проекций и следует подставить и - проекции скорости и ускорения на выбранное направление касательной к траектории.
Прямолинейное движение при известной зависимости координаты от времени
Рассмотрим случай, когда материальная точка движется по прямой линии. Выберем систему координат с началом в произвольной точке . Ось направим вдоль линии движения точки. Тогда положение точки однозначно определяется значением одной координаты .
Если задан закон изменения координаты от времени :
,
то дифференцируя по времени ,
найдем закон изменения скорости:
.
При точка движется в положительном направлении оси (на рисунке слева направо). При точка движется в отрицательном направлении оси (на рисунке справа налево).
Дифференцируя скорость по времени, находим закон изменения ускорения:
.
Поскольку прямая не имеет кривизны, то радиус кривизны траектории можно считать бесконечно большим, .
Тогда нормальное ускорение равно нулю:
.
То есть ускорение точки тангенциальное (касательное):
.
Что вполне естественно, поскольку и скорость и ускорение точки направлены по касательной к траектории - прямой, вдоль которой происходит движение.
Если и одного знака (то есть оба положительные или оба отрицательные), то модуль скорости увеличивается (скорость возрастает по абсолютной величине). Если и разных знаков, то модуль скорости уменьшается (скорость убывает по абсолютной величине).
Прямолинейное движение при известном ускорении
Ускорение, зависящее от времени
Пусть нам известен закон изменения ускорения от времени:
.
Нашей задачей является найти закон изменения скорости и закон изменения координаты от времени:
;
.
Применим формулу:
.
Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
;
.
Здесь - постоянная интегрирования. Отсюда видно, что только по известной зависимости ускорения от времени, нельзя однозначно определить зависимость скорости от времени. Мы получили целое множество законов изменения скорости, которые отличаются друг от друга на произвольную постоянную .
Чтобы найти нужный нам закон изменения скорости, мы должны задать еще одно значение. Как правило таким значением является значение скорости в начальный момент времени .
Чтобы это сделать перейдем от неопределенного интеграла к определенному:
.
Пусть - скорость точки в начальный момент времени .
Подставим :
;
;
.
Таким образом закон изменения скорости от времени имеет вид:
(1)
.
Аналогичным образом определяем закон изменения координаты от времени.
.
(2)
.
Здесь - значение координаты в начальный момент времени .
Подставим (1) в (2).
.
Область интегрирования в двойном интеграле.
Если изменить порядок интегрирования в двойном интеграле, то получим:
.
Таким образом, мы получили следующие формулы:
(3)
;
(4)
.
Ускорение, зависящее от координаты
Пусть теперь нам известен закон изменения ускорения от координаты:
.
Нам нужно решить дифференциальное уравнение:
.
Это дифференциальное уравнение не содержит независимую переменную в явном виде. Общий метод решения таких уравнений рассмотрен на странице “Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие независимую переменную в явном виде ”. Согласно этому методу мы считаем, что является функцией от :
;
.
Разделяем переменные и интегрируем:
;
;
;
.
Извлекая корень нужно учесть, что скорость может быть как положительной, так и отрицательной. На небольшом удалении от точки ,
знак определяется знаком постоянной .
Однако, если ускорение направлено противоположно скорости, то скорость точки уменьшится до нуля и направление движения изменится на противоположное. Поэтому правильный знак, плюс или минус, выбирается при рассмотрении конкретного движения.
(5)
.
В начале движения
.
Теперь определяем зависимость координаты от времени. Дифференциальное уравнение для координаты имеет вид:
.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . Разделяем переменные и интегрируем:
(6)
.
Это уравнение определяет зависимость координаты от времени в неявном виде.
Прямолинейное равномерное движение
Применим полученные выше результаты для случая прямолинейного равномерного движения. В этом случае ускорение
.
;
.
То есть скорость является постоянной, а координата линейно зависит от времени. Формулы (5) и (6) дают тот же самый результат.
Прямолинейное равноускоренное движение
Теперь рассмотрим прямолинейное равноускоренное движение.
В этом случае ускорение является величиной постоянной:
.
По формулам (1) и (2) находим:
;
.
Если применим формулу (5), то получим зависимость скорости от координаты:
.
Прямолинейное движение в векторном виде
Полученные формулы можно представить в векторном виде. Для этого достаточно умножить уравнения, определяющие , и на единичный вектор (орт) , направленный вдоль оси .
Тогда радиус-вектор точки, векторы скорости и ускорения имеют вид:
;
;
.
Равномерное движение – это движение с постоянной скоростью, то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0).
Прямолинейное движение – это движение по прямой линии, то есть траектория прямолинейного движения – это прямая линия.
Равномерное прямолинейное движение – это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Например, если мы разобьём какой-то временной интервал на отрезки по одной секунде, то при равномерном движении тело будет перемещаться на одинаковое расстояние за каждый из этих отрезков времени.
Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор перемещения совпадает по направлению с вектором скорости. При этом средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости:
Скорость равномерного прямолинейного движения – это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела за любой промежуток времени к значению этого промежутка t:
Таким образом, скорость равномерного прямолинейного движения показывает, какое перемещение совершает материальная точка за единицу времени.
Перемещение при равномерном прямолинейном движении определяется формулой:
Пройденный путь при прямолинейном движении равен модулю перемещения. Если положительное направление оси ОХ совпадает с направлением движения, то проекция скорости на ось ОХ равна величине скорости и положительна:
v x = v, то есть v > 0
Проекция перемещения на ось ОХ равна:
s = vt = x – x 0
где x 0 – начальная координата тела, х – конечная координата тела (или координата тела в любой момент времени)
Уравнение движения , то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t), принимает вид:
Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v < 0), и тогда уравнение движения принимает вид:
Зависимость скорости, координат и пути от времени
Зависимость проекции скорости тела от времени показана на рис. 1.11. Так как скорость постоянна (v = const), то графиком скорости является прямая линия, параллельная оси времени Ot.
Рис.
1.11. Зависимость проекции скорости тела
от времени при равномерном прямолинейном
движении.
Проекция перемещения на координатную ось численно равна площади прямоугольника ОАВС (рис. 1.12), так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.
Рис.
1.12. Зависимость проекции перемещения
тела от времени при равномерном
прямолинейном движении.
График зависимости перемещения от времени показан на рис. 1.13. Из графика видно, что проекция скорости равна
v = s 1 / t 1 = tg α
где α – угол наклона графика к оси времени.
Чем больше угол α, тем быстрее движется тело, то есть тем больше его скорость (больший путь тело проходит за меньшее время). Тангенс угла наклона касательной к графику зависимости координаты от времени равен скорости:
Рис.
1.13. Зависимость проекции перемещения
тела от времени при равномерном
прямолинейном движении.
Зависимость координаты от времени показана на рис. 1.14. Из рисунка видно, что
tg α 1 > tg α 2
следовательно, скорость тела 1 выше скорости тела 2 (v 1 > v 2).
tg α 3 = v 3 < 0
Если тело покоится, то графиком координаты является прямая, параллельная оси времени, то есть
Рис.
1.14. Зависимость координаты тела от
времени при равномерном прямолинейном
движении.
Связь угловых и линейных величин
Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости . Скорость каждой точки, будучи направлена по касательной к соответствующей окружности, непрерывно изменяет свое направление. Величина скоростиопределяется скоростью вращения телаи расстоянием R рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток временитело повернулось на угол(рис 2.4). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси проходит при этом путь, равный
Линейная скорость точки по определению.
Тангенциальное ускорение
Воспользовавшись тем же отношением (2.6) получаем
Таким образом, как нормальное, так и, тангенциальное ускорения растут линейно с расстоянием точки от оси вращения.
Основные понятия.
Периодическим колебанием называется процесс, при котором система (например, механическая) возвращается в одно и то же состояние через определенный промежуток времени. Этот промежуток времени называется периодом колебаний.
Возвращающая сила - сила, под действием которой происходит колебательный процесс. Эта сила стремится тело или материальную точку, отклоненную от положения покоя, вернуть в исходное положение.
В зависимости от характера воздействия на колеблющееся тело различают свободные (или собственные) колебания и вынужденные колебания.
Свободные колебания имеют место тогда, когда на колеблющееся тело действует только возвращающая сила. В том случае, если не происходит рассеивания энергии, свободные колебания являются незатухающими. Однако, реальные колебательные процессы являются затухающими, т.к. на колеблющееся тело действуют силы сопротивления движению (в основном силы трения).
Вынужденные колебания совершаются под действием внешней периодически изменяющейся силы, которую называют вынуждающей. Во многих случаях системы совершают колебания, которые можно считать гармоническими.
Гармоническими колебаниями называют такие колебательные движения, при которых смещение тела от положения равновесия совершается по закону синуса или косинуса:
Для иллюстрации физического смысла рассмотрим окружность, и будем вращать радиус ОК с угловой скоростью ω против часовой (7.1) стрелки. Если в начальный момент времени ОК лежал в горизонтальной плоскости, то через время t он сместится на угол. Если начальный угол отличен от нуля и равенφ 0 , тогда угол поворота будет равен Проекцияна ось ХО 1 равна . По мере вращения радиуса ОК изменяется величина проекции, и точкабудет совершать колебания относительно точки- вверх, вниз и т.д. При этом максимальное значение х равно А и называется амплитудой колебаний; ω - круговая или циклическая частота;- фаза колебаний;– начальная фаза. За один оборот точки К по окружности ее проекция совершит одно полное колебание и вернется в исходную точку.
Периодом Т называется время одного полного колебания. По истечению времени Т повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебания. За один период колеблющаяся точка проходит путь, численно равный четырем амплитудам.
Угловая скорость определяется из условия, что за период Т радиус ОК сделает один оборот, т.е. повернется на угол 2π радиан:
Частота колебаний - число колебаний точки в одну секунду, т.е. частота колебаний определяется как величина, обратная периоду колебаний:
Пружынный маятник упругие силы.
Пружинный маятник состоит из пружины и массивного шара, насаженного на горизонтальный стержень, вдоль которого он может скользить. Пусть на пружине укреплен шарик с отверстием, который скользит вдоль направляющей оси (стержня). На рис. 7.2,а показано положение шара в состоянии покоя; на рис. 7.2,б - максимальное сжатие и на рис. 7.2,в -произвольное положение шарика.
Под действием возвращающей силы, равной силе сжатия, шарик будет совершать колебания. Сила сжатия F = -kx , где k - коэффициент жесткости пружины. Знак минус показывает, что направление силы F и смещение х противоположны. Потенциальная энергия сжатой пружины
кинетическая .
Для вывода уравнения движения шарика необходимо связать х и t. Вывод основывается на законе сохранения энергии. Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии системы. В данном случае:
.
В
положении б)
:
.
Так как в рассматриваемом движении выполняется закон сохранения механической энергии, можно записать:
.
Определим
отсюда скорость:
Но
в свою очередь
и,
следовательно,
.
Разделим
переменные
.
Интегрируя
это выражение, получим:
,
где - постоянная интегрирования. Из последнего следует, что
Таким образом, под действием упругой силы тело совершает гармонические колебания. Силы иной природы, чем упругие, но в которых выполняется условие F = -kx, называются квазиупругими. Под действием этих сил тела тоже совершают гармонические колебания. При этом:
|
смещение: | |
|
скорость: |
|
|
ускорение: |
|
Математический маятник.
Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой нити, длина l которой намного больше размеров шара. Если его отклонить на угол α (рис.7.3.) от вертикальной линии, то под влиянием силы F – одной из составляющих веса Р он будет совершать колебания. Другая составляющая , направленная вдоль нити, не учитывается, т.к. уравновешивается силой натяжения нити. При малых углах смещенияи, тогда координату х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из рис.7.3 видно, что составляющая веса, перпендикулярная нити, равна
Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α
Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения
Момент силы относительно точки О: , и момент инерции:M = FL . Момент инерции J в данном случае Угловое ускорение:
С
учетом этих величин имеем:
Его
решение
,
Как видим, период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.
Затухающие колебания.
Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия механических колебаний такой системы постепенно расходуется на работу против сил трения, поэтому свободные колебания всегда затухают - их амплитуда постепенно уменьшается. Во многих случаях, когда отсутствует сухое трение, в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях движения силы, вызывающие затухание механических колебаниях, пропорциональны скорости. Эти силы, независимо от их происхождения, называют силами сопротивления.
Перепишем
это уравнение в следующем виде:
и
обозначим:
где представляет ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды, т.е. при r = 0. Эту частоту называют собственной частотой колебания системы; β - коэффициент затухания. Тогда
|
|
Будем искать решение уравнения (7.19) в виде где U - некоторая функция от t.
Продифференцируем
два раза это выражение по времени t и,
подставив значения первой и второй
производных в уравнение (7.19), получим
Решение этого, уравнения существенным образом зависит от знака коэффициента, стоящего при U. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положительный. Введем обозначение тогда С вещественным ω решением этого уравнения, как мы знаем, является функция
Таким образом, в случае малого сопротивления среды , решением уравнения (7.19) будет функция
График этой функции показан на рис. 7.8. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Величину называют собственной циклической частотой колебаний диссипативной системы. Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, т.к, в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения. Величинуобычно называют периодом затухающих колебаний, правильнее - условным периодом затухающих колебаний,
Натуральный логарифм отношения амплитуд смещений, следующих друг за другом через промежуток времени, равный периоду Т, называют логарифмическим декрементом затухания.
Обозначим через τ промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Тогда
Следовательно, коэффициент затухания есть физическая величина, обратная промежутку времени τ, в течение которого амплитуда убывает в е раз. Величина τ называется временем релаксации.
Пусть N - число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз, Тогда
Следовательно, логарифмический декремент затухания δ есть физическая величина, обратная числу колебаний N, по истечению которого амплитуда убывает в е раз
Вынужденные колебания.
В случае вынужденных колебаний система колеблется под действием внешней (вынуждающей) силы, и за счет работы этой силы периодически компенсируются потери энергии системы. Частота вынужденных колебаний (вынуждающая частота) зависит от частоты изменения внешней силы Определим амплитуду вынужденных колебаний тела массой m, считая колебания незатухающими вследствие постоянно действующей силы .
Пусть эта сила изменяется со временем по закону , гдеамплитуда вынуждающей силы. Возвращающая силаи сила сопротивленияТогда второй закон Ньютона можно записать в следующем виде.
B11 . По графикам зависимости координаты тел от времени (рис. 1) определите для каждого тела:
а) начальную координату;
б) координату через 4 с;
в) проекцию скорости;
г) уравнение координаты (уравнение движения);
д) когда координата будет равна 20 м?
Решение
а) Определите для каждого тела начальную координату.
Графический способ . По графику находим значения координат точек пересечения графиков с осью 0х (на рис. 2 а эти точки выделены):
x 01 = 30 м; x 02 = 10 м; x 03 = –10 м.
б) Определите для каждого тела координату через 4 с.
Графический способ . По графику находим значения координат точек пересечения графиков с перпендикуляром, проведенным к оси 0t в точке t = 4 с (на рис. 2 б эти точки выделены): x 1 (4 с) = 0; x 2 (4 с) = 10 м; x 3 (4 с) ≈ 20 м.
Аналитический способ . Составьте уравнение движения и по нему определить значение координаты при t = 4 с (см. пункт г).
в) Определите для каждого тела проекцию скорости.
Графический способ . Проекция скорости \(~\upsilon_x = \tan \alpha = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2-t_1}\) , где α – угол наклона графика к оси 0t ; Δt = t 2 – t 1 – произвольный промежуток времени; Δυ = υ 2 – υ 1 – промежуток скоростей, соответствующий промежутку времени Δt = t 2 – t 1 .
Для графика 1: пусть t 2 = 4 с, t 1 = 0, тогда x 2 = 0, x 1 = 30 м и υ 1x = (0 - 30 м)/(4 с - 0) = –7,5 м/с (рис. 3 а).
Для графика 2: пусть t 2 = 6 с, t 1 = 0, тогда x 2 = 10 м, x 1 = 10 м и υ 2x = (10 м - 10 м)/(6 с - 0) = 0 (рис. 3 б).
Для графика 3: пусть t 2 = 5 с, t 1 = 0, тогда x 2 = 30 м, x 1 = –10 м и υ 3x = (30 - (-10 м))/(5 с - 0) = 8 м/с (рис. 3 в).
Аналитический способ . Запишем уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении в общем виде x = x 0 + υ x ·t . Используя значения начальной координаты (см. пункт а) и координаты при t = 4 с (см. пункт б), найдем значение проекции скорости\[~\upsilon_x = \frac{x - x_0}{t}\] .
г) Определите для каждого тела уравнение координаты.
Уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении в общем виде "x = x 0 + υ x · t.
Для графика 1: т.к. x 01 = 30 м, υ 1x = –7,5 м/с, то x 1 = 30 – 7,5t . Проверим пункт б: x 1 (4 с) = 30 – 7,5·4 = 0, что соответствует ответу.
Для графика 2: т.к. x 02 = 10 м, υ 2x = 0, то x 2 = 10. Проверим пункт б: x 2 (4 с) = 10 (м), что соответствует ответу.
Для графика 3: т.к. x 03 = –10 м, υ 3x = 8 м/с, то x 3 = –10 + 8t . Проверим пункт б: x 3 (4 с) = –10 + 8·4 = 22 (м), что соответствует приблизительно ответу.
д) Определите, когда координата тела будет равна 20 м?
Графический способ . По графику находим значения времени точек пересечения графиков с перпендикуляром, проведенном к оси 0x в точке x = 20 м (на рис. 4 эти точки выделены): t 1 (20 м) ≈ 1,5 с; t 3 (20 м) ≈ 3,5 с.
График 2 параллелен перпендикуляру, следовательно, координата тела 2 никогда не будет равной 20 м.
Аналитический способ . Записать уравнение координаты для каждого тела и найти при каком значении времени t, координата станет равной 20 м.